Sui gruppi
Sia $G$ un gruppo (rispetto ad un'operazione $*$) ed $H$ un sottoinsieme di $G$ non vuoto. Dare una condizione necessaria e sufficiente affinchè $H$ sia sottogruppo di $G$. (postare, oltre alla risposta, una dimostrazione!)
Risposte
H Sottogruppo di G $iff$ $a^-1 b in H $ per ogni $a,b in H $
$=>$
se H è un sottogruppo di G, $a^-1$ e $b$ appartengono ad H, quindi anche $a^-1 b in H$
$<=$ non viene bene ma è l'altra implicazione intendevo.... però non c'è il simbolino.
bisogna vedere se H è un gruppo rispetto all'operazione indotta in esso da G
l'operazione rimane ovviamente associativa visto che ogni elemento di H è anche elemento di G
$a^-1 a = e in H$ l'elemento neutro appartiene ad H quindi
se $a$ appartiene ad H, $a^-1 e = a^-1 in H$ quindi ogni elemento di H ha il suo inverso in H
quindi H è un sottogruppo di G.
$=>$
se H è un sottogruppo di G, $a^-1$ e $b$ appartengono ad H, quindi anche $a^-1 b in H$
$<=$ non viene bene ma è l'altra implicazione intendevo.... però non c'è il simbolino.
bisogna vedere se H è un gruppo rispetto all'operazione indotta in esso da G
l'operazione rimane ovviamente associativa visto che ogni elemento di H è anche elemento di G
$a^-1 a = e in H$ l'elemento neutro appartiene ad H quindi
se $a$ appartiene ad H, $a^-1 e = a^-1 in H$ quindi ogni elemento di H ha il suo inverso in H
quindi H è un sottogruppo di G.
Può andare!
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