Successione esponenziale: studio della monotonia

[trustedin]

Buongiorno a tutti. Ho un problema che non so risolvere, con una successione esponenziale quando debbo stabilirne la crescenza. La successione è anche semplice, ma purtroppo a me non riesce, per cui vi chiedo scusa in anticipo e vi chiedo un aiuto. La successione è:
$ text(a){::}_(text(n))= (3^n+2^(2n))/(2^n-3^(2n)) $
Per velutarne la crescenza mi hanno insegnato a calcolare la
$ text(a){::}_(text(n+1)) $
e metterla a confronto con la serie di partenza con un segno arbitrario, per cui avrei che:
$ (3^n+2^(2n))/(2^n-3^(2n))>(3^(n+1)+2^(2n+1))/(2^(n+1)-3^(2n+1)) $
non avendo risultati con un confronto immediato passo a fare i calcole e qui qualcosa sbaglio di sicuro:
$ ((3^n+2^(2n))(2^(n+1)-3^(2n+1)))/((2^n-3^(2n))(2^(n+1)-3^(2n+1)))>((3^(n+1)+2^(2n+1))(2^n-3^(2n)))/((2^n-3^(2n))(2^(n+1)-3^(2n+1))) $

$ (3^n+2^(2n))(2^(n+1)-3^(2n+1))>(3^(n+1)+2^(2n+1))(2^n-3^(2n)) $

$ 2^(n+1)3^n+2^(3n+1)-3^(2n+1)-2^(2n)3^(n+1)>2^n3^(n+1)+2^(3n+2)-3^(2n+1)-2^(2n+2)3^n $

$ 2^(n+1)3^n+2^(3n+1)-2^(2n)3^(n+1)>2^n3^(n+1)+2^(3n+2)-2^(2n+2)3^n $

$ 2^1*2^n*3^n+2^1*(2^3)^n-3^1*(2^2)^n*3^n>3^1*2^n*3^n+2^2*(2^3)^n-2^2*(2^2)^n*3^n $

$ 2*6^n+2*8^n-3*12^n>3*6^n+4*8^n-4*12^n $

$ -6^n-2*8^n+12^n>0 $

Da qui in poi non riesco ad andare avanti nonostante abbia fatto vari tentativi che non vi riporto perchè sono non fruttuosi. Eppure so che l'andamento della mia successione di partenza è di essere crescente per un tratto e decrescente dell'altro fino ad acquisirla come proprietà definitiva. Per questo vi allego un fle con i grafici qualitativi sia di $ text(a){::}_(text(n)) $ , in celeste, che $ text(a){::}_(text(n+1)) $, in rosso, messe a confronto, ma non so giungerci per via matematica. Mi scuso se non uso il vostro software per fare il grafico, ma la sicurezza Java mi continua a dare errore e non mi apre il vostro programma dicendo che ci sono problemi di sicurezza in quanto è un plugin autofirmato.
grazie mille

[onlyReferee]

Ciao trustedin
Ti riporto ciò che mi è saltato subito all'occhio, premettendo che non mi sono rimesso ad eseguire da capo tutto il conto.
Quando scrivi il termine $a_{n + 1}$ sbagli nel sostituire $2n + 1$ ad esponente anziché $2(n + 1)$.
Con la corretta sostituzione il termine $n + 1$-esimo dovrebbe dunque diventarti:
$$a_{n + 1} = \frac{3^{n + 1} + 2^{2(n + 1)}}{2^{n + 1} - 3^{2(n + 1)}}.$$
Aggiungo, dato che ci sono, una nota riguardo alla risoluzione della disequazione: quando si moltiplicano ambo i membri per una data quantità bisogna assicurarsi del segno di ciò per cui si moltiplica perché in caso la quantità sia negativa è necessario cambiare il verso della disuguaglianza. In questo caso abbiamo un prodotto di differenze di esponenziali.

[trustedin]

Dovete perdonarmi perchè ho fatto una gran confusione con l'editor: vediamo adesso di essere più preciso:
io confronto:
$ (3^n+2^(2n))/(2^n-3^n)>(3^(n+1)+2^(2(n+1)))/(2^(n+1)-3^(n+1)) $

con un segno arbitrario di maggiore che nelle soluzioni può diventarmi altro. Faccio i conti e mi viene che:

$ ((3^n+2^(2n))(2^(n+1)-3^(n+1)))/((2^n-3^n)(2^(n+1)-3^(n+1)))>((3^(n+1)+2^(2(n+1)))(2^n-3^n))/((2^n-3^n)(2^(n+1)-3^(n+1)) $

$ (3^n+2^(2n))(2^(n+1)-3^(n+1))>(3^(n+1)+2^(2(n+1)))(2^n-3^n) $

$ 2^(n+1)3^(n)+2^(3n+1)-3^(2n+1)-2^(2n)3^(n+1)>2^n3^(n+1)+2^(3n+2)-3^(2n+1)-2^(2n+2)3^n $

$ 2^(n+1)3^(n)+2^(3n+1)-2^(2n)3^(n+1)>2^n3^(n+1)+2^(3n+2)-2^(2n+2)3^n $

$ 2^1*2^n*3^n+2^1*(2^3)^n-3^1*(2^2)^n*3^n>3^1*2^n*3^n+2^2*(2^3)^n-2^2*(2^2)^n*3^n $

$ 2*6^n+2*8^n-3*12^n>3*6^n+4*8^n-4*12^n $

$ -6^n-2*8^n+12^n>0 $

come vedete, il risultato finale, che mi crea problemi, è lo stesso del mio messaggio precedente, perchè purtroppo avevo sbagliato a scrivere i passaggi iniziali facendo una gran confusione. Per cui vi chiedo il favore di considerare questo messaggio per l'esplicazione del mio calcolo e quello precedente per il grafico che è corretto. Io non so risolvere questa disequazione. Grazie per la prima risposta e grazie a tutti per l'aiuto che potrete darmi.

[onlyReferee]

L'unica strada in questo caso è verificare la disequazione per via grafica. La forma più semplice che (secondo me) si può ottenere per questa disequazione è la seguente (basta dividere entrambi i membri per $2^n$ e riarrangiare un attimo il tutto):$$6^n > 2 \cdot 4^n + 3^n.$$

[trustedin]

grazie mille! Certo che queste esponenziali son proprio noiosette