Su una proprietà dei Sylow
Problema. Sia $P$ un $p$-Sylow di un gruppo $H$. Provare che se [tex]P \triangleleft H[/tex] e [tex]H \triangleleft K[/tex] allora [tex]P \triangleleft K[/tex].
Sono praticamente privo di idee, a parte quelle banali che non mi hanno portato da nessuna parte. In particolare, non capisco dove usare l'ipotesi che $P$ sia un p-Sylow; insomma, io so che $P^{h}=P$ e $H^{k}=H$, per ogni $h \in H$ e per ogni $k \in K$.
Voglio provare che $P^{k}=P$ per ogni $k \in K$. Ho provato a fare due conti scemi con il coniugio, ma non ho tirato fuori nulla di buono. Una mano, per piacere?
Grazie
Sono praticamente privo di idee, a parte quelle banali che non mi hanno portato da nessuna parte. In particolare, non capisco dove usare l'ipotesi che $P$ sia un p-Sylow; insomma, io so che $P^{h}=P$ e $H^{k}=H$, per ogni $h \in H$ e per ogni $k \in K$.
Voglio provare che $P^{k}=P$ per ogni $k \in K$. Ho provato a fare due conti scemi con il coniugio, ma non ho tirato fuori nulla di buono. Una mano, per piacere?
Grazie
Risposte
Sia [tex]k \in K[/tex]. Allora da [tex]P \subset H[/tex] e da [tex]H^k = H[/tex], segue [tex]P^k \subset H[/tex]. Ma [tex]P^k[/tex] ha la stessa cardinalità di [tex]P[/tex], sicché è un [tex]p[/tex]-Sylow in [tex]H[/tex]. Quindi [tex]P^k = P[/tex]. Ti torna?
"maurer":
Sia [tex]k \in K[/tex]. Allora da [tex]P \subset H[/tex] e da [tex]H^k = H[/tex], segue [tex]P^k \subset H[/tex]. Ma [tex]P^k[/tex] ha la stessa cardinalità di [tex]P[/tex], sicché è un [tex]p[/tex]-Sylow in [tex]H[/tex]. Quindi [tex]P^k = P[/tex]. Ti torna?
Ah, è vero, che babbeo che sono! Mi torna, mi torna; grazie mille
A questo punto, allora abbiamo il seguente risultato notevole.
Proprietà. Se $P$ è un $p$-Sylow di $G$, allora $N(N(P))=N(P)$, dove con [tex]N(\cdot)[/tex] intendo il normalizzante in $G$).
Dim. Segue dal teorema precedente. Ovviamente [tex]P \triangleleft N(P)[/tex] e [tex]N(P) \triangleleft N(N(P))[/tex]. Quindi si ha [tex]P \triangleleft N(N(P))[/tex] D'altra parte, per definizione, $N(P)$ è il più grande insieme in cui $P$ è normale, quindi $N(N(P)) \subseteq N(P)$. L'altra inclusione è ovvia.
Che dici fin qui? Va bene? Se ho fatto giusto questo, allora posto un problema più difficile (problema da cui sono nati questi due lemmi).
Grazie
Per me è perfetto. Attendo l'altro problema!
Ok, grazie.
Problema. Sia $G$ un gruppo di ordine $|G|=315=3^2 \cdot 5 \cdot 7$ in cui vi è un solo 3-Sylow, sia esso $K$. Si mostri che allora $K \subseteq \mathcal{Z}(G)$ e dedurne che $G$ è abeliano.
Idee. N.B. Indico con $n_p$ il numero di p-Sylow.
Per ipotesi, si ha $n_3=1$, quindi il $3$-Sylow, che ha ordine 9, è normale in $G$. Se non ho sbagliato i conti, si ha $n_{5} \in {1,21}$ e $n_{7} \in {1,15}$.
Io sono convinto che non possa essere contemporaneamente $n_{5}=15$ e $n_{7}=15$ e in questo modo guadagnerei la normalità di uno dei due (cioè o il 5-Sylow o il 7-Sylow sarebbero normali).
Supponiamo che ci siano 21 5-Sylow e 15 7-Sylow. In ogni 5-Sylow ho $\phi(5)=4$ elementi di ordine 5 e quindi in totale in G ho $21 *\phi(5) = 84$ elementi di ordine 5 (ammesso che p-Sylow distinti abbiano intersezione banale, ma questo dovrebbe seguire dal fatto che sono coniugati). Allo stesso modo trovo che ho 90 elementi di ordine 7. Non sono ancora arrivato a una contraddizione.
Allora ho pensato di tirare in ballo i normalizzanti. In particolare, il normalizzante di un 5-Sylow è ciclico perchè ha ordine 15. Il normalizzante del normalizzante sarebbe ancora il normalizzante (ecco dove mi ero impiantato!) e quindi avrebbe ancora ordine 15, cioè indice 21. Tradotto, il normalizzante di un 5-Sylow avrebbe 21 coniugati.
Ora stavo pensando di contare gli elementi di ordine 15: avrei $21*\phi(15)=21*2*4=168$ elementi di ordine 15 (forse dovrei analizzare meglio le intersezioni; per Lagrange avrebbero ordine $1,3,5,15$: modulo aver dimostrato che coniugati distinti hanno intersezione non banale -è vero?- allora le intersezioni possono solo avere ordine 3 o 5, e in tal caso non posso aver elementi di ordine 15 nell'intersezione). In sostanza, avrei finalmente una contraddizione, perchè 168+84+90 >315.
Question. E' giusto e magari utile quanto ho detto fin qui? Ci ho pensato tutto il pomeriggio
Grazie per l'aiuto, come al solito
___________________________________
Edit: Aggiungo ancora qualche considerazione.
A questo punto, posso distinguere alcuni casi. Se entrambi i 5-Sylow e il 7-Sylow sono unici, allora sono normali e $G$ è sicuramente abeliano (può essere o $C_{3} \times C_{3} \times C_{5} \times C_{7}$ oppure $C_{9} \times C_{5} \times C_{7}$, che poi sarebbe il ciclico). In entrambi i casi, la tesi vale perchè il centro è tutto $G$.
Ora devo analizzare i casi in cui ho più di un 5-Sylow oppure più di un 7-Sylow e, sostanzialmente, far vedere che ricado in uno dei casi precedenti (sto pensando al teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti).
Non so bene come procedere: supponiamo di avere un 5-Sylow e 15 7-Sylow. $K$ centralizza sicuramente il 5 Sylow (essendo normale), ma con i 7-Sylow? Che cosa posso fare? L'azione di $G$ sull'insieme dei 7-Sylow non mi pare dia molte informazioni; considero di nuovo qualche normalizzante?
Il problema è che il mio 3-Sylow, che so che è normale, ha ordine 9: il normalizzante di un 7-Sylow, invece, ha ordine 21 ed è ciclico, ma non posso asserire che è il prodotto del 3-Sylow con uno dei 7-Sylow (non posso appunto per questioni di ordine). E quindi non penso di riuscire a dire molto passando dai prodotti diretti.
In definitiva: come provare che il 3-Sylow centralizza tutto?
Grazie.
Problema. Sia $G$ un gruppo di ordine $|G|=315=3^2 \cdot 5 \cdot 7$ in cui vi è un solo 3-Sylow, sia esso $K$. Si mostri che allora $K \subseteq \mathcal{Z}(G)$ e dedurne che $G$ è abeliano.
Idee. N.B. Indico con $n_p$ il numero di p-Sylow.
Per ipotesi, si ha $n_3=1$, quindi il $3$-Sylow, che ha ordine 9, è normale in $G$. Se non ho sbagliato i conti, si ha $n_{5} \in {1,21}$ e $n_{7} \in {1,15}$.
Io sono convinto che non possa essere contemporaneamente $n_{5}=15$ e $n_{7}=15$ e in questo modo guadagnerei la normalità di uno dei due (cioè o il 5-Sylow o il 7-Sylow sarebbero normali).
Supponiamo che ci siano 21 5-Sylow e 15 7-Sylow. In ogni 5-Sylow ho $\phi(5)=4$ elementi di ordine 5 e quindi in totale in G ho $21 *\phi(5) = 84$ elementi di ordine 5 (ammesso che p-Sylow distinti abbiano intersezione banale, ma questo dovrebbe seguire dal fatto che sono coniugati). Allo stesso modo trovo che ho 90 elementi di ordine 7. Non sono ancora arrivato a una contraddizione.
Allora ho pensato di tirare in ballo i normalizzanti. In particolare, il normalizzante di un 5-Sylow è ciclico perchè ha ordine 15. Il normalizzante del normalizzante sarebbe ancora il normalizzante (ecco dove mi ero impiantato!) e quindi avrebbe ancora ordine 15, cioè indice 21. Tradotto, il normalizzante di un 5-Sylow avrebbe 21 coniugati.
Ora stavo pensando di contare gli elementi di ordine 15: avrei $21*\phi(15)=21*2*4=168$ elementi di ordine 15 (forse dovrei analizzare meglio le intersezioni; per Lagrange avrebbero ordine $1,3,5,15$: modulo aver dimostrato che coniugati distinti hanno intersezione non banale -è vero?- allora le intersezioni possono solo avere ordine 3 o 5, e in tal caso non posso aver elementi di ordine 15 nell'intersezione). In sostanza, avrei finalmente una contraddizione, perchè 168+84+90 >315.
Question. E' giusto e magari utile quanto ho detto fin qui? Ci ho pensato tutto il pomeriggio
Grazie per l'aiuto, come al solito
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Edit: Aggiungo ancora qualche considerazione.
A questo punto, posso distinguere alcuni casi. Se entrambi i 5-Sylow e il 7-Sylow sono unici, allora sono normali e $G$ è sicuramente abeliano (può essere o $C_{3} \times C_{3} \times C_{5} \times C_{7}$ oppure $C_{9} \times C_{5} \times C_{7}$, che poi sarebbe il ciclico). In entrambi i casi, la tesi vale perchè il centro è tutto $G$.
Ora devo analizzare i casi in cui ho più di un 5-Sylow oppure più di un 7-Sylow e, sostanzialmente, far vedere che ricado in uno dei casi precedenti (sto pensando al teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti).
Non so bene come procedere: supponiamo di avere un 5-Sylow e 15 7-Sylow. $K$ centralizza sicuramente il 5 Sylow (essendo normale), ma con i 7-Sylow? Che cosa posso fare? L'azione di $G$ sull'insieme dei 7-Sylow non mi pare dia molte informazioni; considero di nuovo qualche normalizzante?
Il problema è che il mio 3-Sylow, che so che è normale, ha ordine 9: il normalizzante di un 7-Sylow, invece, ha ordine 21 ed è ciclico, ma non posso asserire che è il prodotto del 3-Sylow con uno dei 7-Sylow (non posso appunto per questioni di ordine). E quindi non penso di riuscire a dire molto passando dai prodotti diretti.
In definitiva: come provare che il 3-Sylow centralizza tutto?
Grazie.
Per prima cosa osserva che se dimostri che il 3-Sylow è centrale (cioè centralizza tutto, cioè è contenuto nel centro) allora hai finito. Infatti il centro è contenuto in tutti i normalizzanti, ma allora... (forse questo ti era già chiaro).
Per mostrare che il 3-Sylow è centrale basta mostrare che centralizza tutti i sottogruppi di Sylow (perché il centro di un gruppo coincide con l'intersezione dei centralizzanti dei suoi sottogruppi di Sylow). Chiama A un 5-Sylow e B un 7-Sylow. Per concludere non devi fare altro che dimostrare che i sottogruppi [tex]KA[/tex] e [tex]KB[/tex] (osserva che in effetti sono sottogruppi, dato che [tex]K[/tex] è normale) sono abeliani.
(forse questo ti era già chiaro).Per mostrare che il 3-Sylow è centrale basta mostrare che centralizza tutti i sottogruppi di Sylow (perché il centro di un gruppo coincide con l'intersezione dei centralizzanti dei suoi sottogruppi di Sylow). Chiama A un 5-Sylow e B un 7-Sylow. Per concludere non devi fare altro che dimostrare che i sottogruppi [tex]KA[/tex] e [tex]KB[/tex] (osserva che in effetti sono sottogruppi, dato che [tex]K[/tex] è normale) sono abeliani.
Ciao Martino!
Che piacere sentirti
Devo dire che non ci avevo pensato e non mi era chiaro come dedurre il fatto che $G$ fosse abeliano.
Effettivamente mi sembra proprio funzionare. Se $x\in \mathcal{Z}$ allora $xy=yx$, per ogni $y \in G$. Questo significa che $xHx^{-1}=x\cdot x^{-1}H=H$ per ogni $H
Adesso, so che $K \subseteq \mathcal{Z}$; inoltre so che $\mathcal{Z} \subseteq N(K)=G$. E' da qui che devo dedurre $G=\mathcal{Z}$? Ancora non lo vedo...
Ah, ecco, ora è già più chiaro ma non sapevo questa cosa. In pratica, se un elemento centralizza tutti i Sylow hanno allora centralizza tutto $G$? Ma chi mi garantisce questo?
Ecco, diciamo che riesco a vederlo se il gruppo è abeliano (!), perchè in tal caso il gruppo è il prodotto diretto dei suoi Sylow, e quindi mi pare ovvio che se un elemento centralizza tutti i fattori allora sta nel centro.
In pratica, io prendo $x,y \in KA$, cioè $x=k_1a_1$ e $y=k_2a_2$. Devo mostrare che $xy=yx$, cioè $k_1a_1k_2a_2=k_2a_2k_1a_1$: come posso fare? Pensavo di sfruttare il fatto che $KA=AK$, essendo, come dici tu, $KA$ un sottogruppo...
Grazie mille
Che piacere sentirti
"Martino":
Per prima cosa osserva che se dimostri che il 3-Sylow è centrale (cioè centralizza tutto, cioè è contenuto nel centro) allora hai finito. Infatti il centro è contenuto in tutti i normalizzanti, ma allora...
Devo dire che non ci avevo pensato e non mi era chiaro come dedurre il fatto che $G$ fosse abeliano.
Effettivamente mi sembra proprio funzionare. Se $x\in \mathcal{Z}$ allora $xy=yx$, per ogni $y \in G$. Questo significa che $xHx^{-1}=x\cdot x^{-1}H=H$ per ogni $H
Adesso, so che $K \subseteq \mathcal{Z}$; inoltre so che $\mathcal{Z} \subseteq N(K)=G$. E' da qui che devo dedurre $G=\mathcal{Z}$? Ancora non lo vedo...
"Martino":
Per mostrare che il 3-Sylow è centrale basta mostrare che centralizza tutti i sottogruppi di Sylow (perché il centro di un gruppo coincide con l'intersezione dei centralizzanti dei suoi sottogruppi di Sylow). Chiama A un 5-Sylow e B un 7-Sylow. Per concludere non devi fare altro che dimostrare che i sottogruppi [tex]KA[/tex] e [tex]KB[/tex] (osserva che in effetti sono sottogruppi, dato che [tex]K[/tex] è normale) sono abeliani.
Ah, ecco, ora è già più chiaro ma non sapevo questa cosa. In pratica, se un elemento centralizza tutti i Sylow hanno allora centralizza tutto $G$? Ma chi mi garantisce questo?
Ecco, diciamo che riesco a vederlo se il gruppo è abeliano (!), perchè in tal caso il gruppo è il prodotto diretto dei suoi Sylow, e quindi mi pare ovvio che se un elemento centralizza tutti i fattori allora sta nel centro.
In pratica, io prendo $x,y \in KA$, cioè $x=k_1a_1$ e $y=k_2a_2$. Devo mostrare che $xy=yx$, cioè $k_1a_1k_2a_2=k_2a_2k_1a_1$: come posso fare? Pensavo di sfruttare il fatto che $KA=AK$, essendo, come dici tu, $KA$ un sottogruppo...
Grazie mille
Ciao! 
Ricorda che il numero di p-Sylow è uguale all'indice del normalizzante di un p-Sylow.
"Paolo90":No, non è da qui. Osserva che siccome K è contenuto in tutti i normalizzanti dei sottogruppi di Sylow di G, gli indici di tali normalizzanti non possono essere divisibili per 3 (!). Chiarito adesso?
Adesso, so che $K \subseteq \mathcal{Z}$; inoltre so che $\mathcal{Z} \subseteq N(K)=G$. E' da qui che devo dedurre $G=\mathcal{Z}$? Ancora non lo vedo...
Ricorda che il numero di p-Sylow è uguale all'indice del normalizzante di un p-Sylow."Paolo90":Chiama [tex]p_1,...,p_n[/tex] i fattori primi distinti dell'ordine del gruppo finito [tex]G[/tex], e scegli un [tex]p_i[/tex]-Sylow [tex]P_i[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex]. Chiama [tex]P[/tex] il sottogruppo generato da [tex]P_1,...,P_n[/tex]. Per concludere è sufficiente mostrare che [tex]P=G[/tex] (sei d'accordo?), e per questo è sufficiente mostrare che [tex]|P|=|G|[/tex], essendo [tex]P \subseteq G[/tex]. Ma questo segue immediatamente dal fatto che [tex]|P|[/tex] è divisibile per [tex]|P_i|[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex].
In pratica, se un elemento centralizza tutti i Sylow hanno allora centralizza tutto $G$? Ma chi mi garantisce questo?
In pratica, io prendo $x,y \in KA$, cioè $x=k_1a_1$ e $y=k_2a_2$. Devo mostrare che $xy=yx$, cioè $k_1a_1k_2a_2=k_2a_2k_1a_1$: come posso fare? Pensavo di sfruttare il fatto che $KA=AK$, essendo, come dici tu, $KA$ un sottogruppo...Che ordine hanno [tex]KA[/tex] e [tex]KB[/tex]?
"Martino":
Ciao!
No, non è da qui. Osserva che siccome K è contenuto in tutti i normalizzanti dei sottogruppi di Sylow di G, gli indici di tali normalizzanti non possono essere divisibili per 3 (!). Chiarito adesso?
Ma no, non mi dire! Ho fatto dei giri assurdi mentre bastava questo!
Cavolo, non ci sarei mai arrivato. In pratica, se so che il 3-Sylow è centrale, necessariamente sia il 5-Sylow sia il 7-Sylow sono unici e quindi normali. Questo segue da quello che mi dici: infatti, i 5-Sylow non possono essere $21=3 *7$ e i 7-Sylow non possono essere $15 = 3*5$ proprio perché $K$ sta nel centro e quindi in ogni normalizzante (quindi il loro indice non può essere divisibile per 3). Bon, questo chiude tutto perchè allora il mio gruppo $G$ è il prodotto diretto dei tre suoi sottogruppi di Sylow e quindi è abeliano (perchè prodotto di abeliani: il 5-Sylow e il 7-Sylow sono abeliani perchè ciclici, il 3-Sylow è abeliano perchè è un gruppo di ordine $p^{2}$). Ok?
"Martino":
Chiama [tex]p_1,...,p_n[/tex] i fattori primi distinti dell'ordine del gruppo finito [tex]G[/tex], e scegli un [tex]p_i[/tex]-Sylow [tex]P_i[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex]. Chiama [tex]P[/tex] il sottogruppo generato da [tex]P_1,...,P_n[/tex]. Per concludere è sufficiente mostrare che [tex]P=G[/tex] (sei d'accordo?), e per questo è sufficiente mostrare che [tex]|P|=|G|[/tex], essendo [tex]P \subseteq G[/tex]. Ma questo segue immediatamente dal fatto che [tex]|P|[/tex] è divisibile per [tex]|P_i|[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex].
Sì, mi torna tutto, grazie. In pratica, è sempre vero che un gruppo è generato dai suoi Sylow, uno per ogni primo che compare nella fattorizzazione di $G$. Bella proprietà; ovviamente, da questo segue che se un sottogruppo centralizza i Sylow (=generatori) allora centralizza tutto $G$.
"Martino":
Che ordine hanno [tex]KA[/tex] e [tex]KB[/tex]?
Eh, certo, ce l'avevo sotto il naso: $KA$ ha ordine 15 e quindi è ciclico e abeliano. Allo stesso modo $KB$ ha ordine 21 e quindi è nuovamente ciclico e abeliano.
Alla fine mi sa che mi sono perso in giri pazzeschi, quando invece bastavano poche osservazioni.
Guarda, se posso ti chiedo un piacere: hai qualche altro problemino del genere? Ne ho già visti e risolti un po' (qui e qui). Se ne hai altri da proporre, ti ringrazio molto
Ti ringrazio per il tuo sempre prezioso aiuto.
Beh, se vuoi fare esercizi di questo tipo volendo potresti metterti a discutere la semplicità dei gruppi di ordine [tex]n[/tex], per [tex]n=1,2,3,...[/tex]. Per esempio puoi provare a dimostrare (è lungo, eh) che se [tex]G[/tex] è un gruppo finito semplice non abeliano di ordine minore o uguale di [tex]300[/tex] allora [tex]|G| \in \{60,168\}[/tex]. Alcuni numeri sono particolarmente difficili (p. es. il 144), altri sono addirittura inaccessibili (p. es. il 252). Vedi anche qui.
Poi, di altri esercizi sui gruppi ne trovi in giro. Hai provato a guardare un po' qui? Se no, dimmi tu che tipo di esercizi cercavi
Poi, di altri esercizi sui gruppi ne trovi in giro. Hai provato a guardare un po' qui? Se no, dimmi tu che tipo di esercizi cercavi
"Martino":
Beh, se vuoi fare esercizi di questo tipo volendo potresti metterti a discutere la semplicità dei gruppi di ordine [tex]n[/tex], per [tex]n=1,2,3,...[/tex]. Per esempio puoi provare a dimostrare (è lungo, eh) che se [tex]G[/tex] è un gruppo finito semplice non abeliano di ordine minore o uguale di [tex]300[/tex] allora [tex]|G| \in \{60,168\}[/tex]. Alcuni numeri sono particolarmente difficili (p. es. il 144), altri sono addirittura inaccessibili (p. es. il 252). Vedi anche qui.
Poi, di altri esercizi sui gruppi ne trovi in giro. Hai provato a guardare un po' qui? Se no, dimmi tu che tipo di esercizi cercavi
Sì, ne ho fatti un bel po' sulla non-semplicità, anche se non pensavo potessero esserci ordini così tosti.
Mi pare proprio di capire che, a dispetto del nome, questa faccenda dalla semplicità non sia semplice. Tu che te ne intendi, mi sapresti dire perchè i gruppi semplici sono così importanti? Voglio dire: può essere interessante capire quando un gruppo non ha sottogruppi normali non banali ma la vera essenza della questione qual è?
Tra l'altro pensavo ad eventuali "applicazioni" in altri rami dell'Algebra: se magicamente sapessi che il gruppo di Galois di un'estensione (o di un polinomio) è semplice potrei concludere che non ci sono estensioni (proprie) intermedie galoisiane, giusto?
Certo però non è così banale che il gruppo di Galois sia semplice: i conti diventano abbastanza complicati immagino (tenuto conto che il primo gruppo semplice che uno incontra è $A_{5}$!).
Scusa, forse la mia domanda ti sembrerà ingenua...
Comunque ti ringrazio per il link, darò un'occhiata e sicuramente troverò qualcosa
Grazie
"Paolo90":
Tu che te ne intendi, mi sapresti dire perchè i gruppi semplici sono così importanti? Voglio dire: può essere interessante capire quando un gruppo non ha sottogruppi normali non banali ma la vera essenza della questione qual è?
Credo che in geometria siano interessanti perché producono azioni su oggetti geometrici con buone proprietà. Altrimenti non mi spiegherei perché il cattivissimo Nacinovich spenda così tanto tempo a cercare gruppi semplici. Ad esempio dimostra il seguente teorema:
Teorema. Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale di dimensione positiva [tex]n+1[/tex] su un campo [tex]K[/tex] di caratteristica diversa da 2 e se [tex]n = 1[/tex] diverso anche da [tex]\mathbb Z / 3 \mathbb Z[/tex]. Supponiamo che ogni elemento di [tex]K[/tex] ammetta in [tex]K[/tex] una radice [tex](n+1)[/tex]-esima. Allora [tex]\text{PL}_K(\mathbb P(V))[/tex] è un gruppo semplice.
Adesso lascio volentieri la parola a gente come Martino che ne sa molto di più di me...
"Paolo90":I gruppi semplici in teoria dei gruppi sono un po' come i numeri primi in aritmetica.
Mi pare proprio di capire che, a dispetto del nome, questa faccenda dalla semplicità non sia semplice. Tu che te ne intendi, mi sapresti dire perchè i gruppi semplici sono così importanti? Voglio dire: può essere interessante capire quando un gruppo non ha sottogruppi normali non banali ma la vera essenza della questione qual è?
- Una "serie di composizione" di un gruppo finito [tex]G[/tex] è una catena [tex]1=G_1 \lhd G_2 \lhd ... \lhd G_n = G[/tex] dove i quozienti [tex]G_{i+1}/G_i[/tex] sono tutti semplici, si chiamano "fattori di composizione" e non dipendono dalla particolare serie di composizione considerata. Le informazioni sui fattori di composizione si traducono in informazioni sul gruppo G. Per esempio G è risolubile se e solo se tutti i suoi fattori di composizione sono abeliani. Per farti un esempio, questo implica che dire "ogni gruppo finito di ordine dispari è risolubile" (teorema di Feit-Thompson) è equivalente a dire "ogni gruppo finito semplice non abeliano ha ordine pari". Quindi come vedi semplicità e risolubilità sono in qualche modo concetti legati, e questo è solo un esempio.
- Molto spesso ci sono argomenti che permettono di ridursi al caso in cui il gruppo in esame è semplice. Per esempio supponiamo di voler dimostrare il teorema di Cauchy: se p primo divide |G| allora esiste in G un elemento di ordine p. Se esiste un sottogruppo normale proprio non banale N di G allora possiamo procedere per induzione su |G| considerando il sottogruppo N o il quoziente G/N, quello dei due che ha ordine divisibile per p. Se p divide |N| allora trovo in N un elemento di ordine p (per induzione), se p divide |G/N| allora trovo in G un elemento il cui ordine modulo N è divisibile per p (per induzione), e quindi p divide anche il suo ordine come elemento di G, quindi una sua opportuna potenza ha ordine p. Come vedi questo dimostra che possiamo tranquillamente supporre che G sia semplice. Molti argomenti sono simili a questo: il passaggio a quoziente riduce l'ordine di un gruppo, e questo torna utile negli argomenti per induzione.
- Lo zoccolo di un gruppo G è il sottogruppo generato dai sottogruppi normali minimali. Si dimostra che un sottogruppo normale minimale è del tipo [tex]S_1 \times ... \times S_k = S \times ... \times S = S^n[/tex] dove [tex]S[/tex] è un gruppo semplice. Capita spesso (non ti sto a dire ora i dettagli però) di ridursi allo studio di gruppi "monolitici", cioè con un solo sottogruppo normale minimale, che quindi coincide con lo zoccolo, e in questo caso il quoziente [tex]X=N_G(S_1)/C_G(S_1)[/tex] risulta essere "almost simple", cioè compreso tra [tex]S[/tex] e [tex]\text{Aut}(S)[/tex] (qui sto pensando [tex]S[/tex] come contenuto in [tex]\text{Aut}(S)[/tex]). Inoltre [tex]G[/tex] risulta immerso nel prodotto intrecciato [tex]X \wr H[/tex], dove [tex]H[/tex] è un sottogruppo transitivo di [tex]\text{Sym}(k)[/tex]. Quindi come vedi è estremamente utile conoscere i gruppi semplici e i loro automorfismi, perché in questo modo si riesce a fare conti su dati gruppi monolitici G pensandoli immersi in altri gruppi di struttura nota (prodotti intrecciati).
- Visto il punto precedente, puoi osservare che ad ogni gruppo finito G capita di agire per automorfismi (tramite il coniugio) su un gruppo del tipo [tex]S \times ... \times S[/tex] con S semplice, e questa azione dà, a priori, informazioni non banali su G.
Perfetto, vi ringrazio molto per le risposte.
Grazie mille, Martino, per il post ricco di informazioni. Mi interessa parecchio questo legame tra semplicità e risolubilità: rifletterò su quanto hai scritto e vedrò di imparare qualcosa.
Nel frattempo, grazie, come al solito
Grazie mille, Martino, per il post ricco di informazioni. Mi interessa parecchio questo legame tra semplicità e risolubilità: rifletterò su quanto hai scritto e vedrò di imparare qualcosa.
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