Su \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\) con \(a+b\neq 0\vee n\neq 0\), evitando la f.i. \(0^0\)!?
Salve a tutti,
perdonatemi se il post è banale, ma nn trovo nulla in merito... nella formula del binomio di Newton $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k$$ oltre ad \( 0\leq k\leq n \) con \(n,k \in \Bbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \) e, nel mio caso, \( a,b \in \Bbb{R} \), pensavo deve essere (anche) $$(a+b)\neq 0 \vee n \neq 0 $$.. è corretto? Ringrazio anticipatamente!
Saluti
perdonatemi se il post è banale, ma nn trovo nulla in merito... nella formula del binomio di Newton $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k$$ oltre ad \( 0\leq k\leq n \) con \(n,k \in \Bbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \) e, nel mio caso, \( a,b \in \Bbb{R} \), pensavo deve essere (anche) $$(a+b)\neq 0 \vee n \neq 0 $$.. è corretto? Ringrazio anticipatamente!
Saluti
Risposte
ho corretto il post, per sbaglio, o così penso, avevo messo il simbolo "\( \wedge \)"...
In molti testi trovo scritto che solo \( n\neq 0 \) ... mmm ma perchè? Potrei avere tranquillamente forme del tipo \( 0^n \), con \( n \neq 0 \) o \( a^ 0 \) con \( a \neq 0 \), l'importante che nn siano entrambi nulli per evitare, io penso, la forma indeterminata del tipo \( 0^0 \).. aspetto una qualche delucidazione o chiarimento da parte di qualcuno!
Saluti
In molti testi trovo scritto che solo \( n\neq 0 \) ... mmm ma perchè? Potrei avere tranquillamente forme del tipo \( 0^n \), con \( n \neq 0 \) o \( a^ 0 \) con \( a \neq 0 \), l'importante che nn siano entrambi nulli per evitare, io penso, la forma indeterminata del tipo \( 0^0 \).. aspetto una qualche delucidazione o chiarimento da parte di qualcuno!
Saluti
"garnak.olegovitc":Certo.
In molti testi trovo scritto che solo \( n\neq 0 \) ... mmm ma perchè? Potrei avere tranquillamente forme del tipo \( 0^n \), con \( n \neq 0 \) o \( a^ 0 \) con \( a \neq 0 \)
È, credo, accettato come convenzione algebrica l'intendere che ogni prodotto vuoto valga 1 ed è, direi, decisamente comune intendere che, nelle sommatorie, valga $a^0=1$ anche se al posto di $a$ si sostuitisce lo 0, quindi, per qualunque anello commutativo $R$, che contiene appunto lo 0, non mi sembra affatto insolito scrivere che\[\forall a,b\in R,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\quad (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k \]
Per dare ancora più libertà alla $k$ mi sembra anche piuttosto normale l'intendere che \(k<0\Rightarrow\binom{n}{k}=0\) e anche che \(k>n\in\mathbb{N}\Rightarrow\binom{n}{k}=0\), quest'ultima derivante dalla generalizzazione \(\binom{\alpha}{k},\alpha\in\mathbb{R}\) con \(\alpha=n\in\mathbb{N}\subset \mathbb{R}\).
Ciao!
A me sembra solo una ingombrante (ma corretta) pignoleria.
Se qualcuno vuole smentirmi...
Se qualcuno vuole smentirmi...
@DavideGenova,
È, credo, accettato come convenzione algebrica l'intendere che ogni prodotto vuoto valga 1 ed è, direi, decisamente comune intendere che, nelle sommatorie, valga $a^0=1$ anche se al posto di $a$ si sostuitisce lo 0, quindi, per qualunque anello commutativo $R$, che contiene appunto lo 0, non mi sembra affatto insolito scrivere che\[\forall a,b\in R,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\quad (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k \]
Per dare ancora più libertà alla $k$ mi sembra anche piuttosto normale l'intendere che \(k<0\Rightarrow\binom{n}{k}=0\) e anche che \(k>n\in\mathbb{N}\Rightarrow\binom{n}{k}=0\), quest'ultima derivante dalla generalizzazione \(\binom{\alpha}{k},\alpha\in\mathbb{R}\) con \(\alpha=n\in\mathbb{N}\subset \mathbb{R}\).
Ciao![/quote]
perdonami ma a leggerti ci vuole arte (prendilo come un complimento)... mi ricordi il mio docente di algebra V. Pipitone ... cmq sia, non ho capito se è giusto mettere/porre $$ a+b \neq 0 \vee n \neq 0 $$..??
Thanks della risposta! Saluti!
P.S.= Quando hai detto/scritto:
nn capisco alcune cose, tipo "prodotto vuoto" e "valga $a^0=1$ anche se al posto di $a$ si sostuitisce lo 0", rispetto a quest'ultima non dovrei evitare, quando posso, la f.i. \( 0^0 \)? Thanks in anticipo!
"DavideGenova":Certo.
[quote="garnak.olegovitc"]In molti testi trovo scritto che solo \( n\neq 0 \) ... mmm ma perchè? Potrei avere tranquillamente forme del tipo \( 0^n \), con \( n \neq 0 \) o \( a^ 0 \) con \( a \neq 0 \)
È, credo, accettato come convenzione algebrica l'intendere che ogni prodotto vuoto valga 1 ed è, direi, decisamente comune intendere che, nelle sommatorie, valga $a^0=1$ anche se al posto di $a$ si sostuitisce lo 0, quindi, per qualunque anello commutativo $R$, che contiene appunto lo 0, non mi sembra affatto insolito scrivere che\[\forall a,b\in R,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\quad (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k \]
Per dare ancora più libertà alla $k$ mi sembra anche piuttosto normale l'intendere che \(k<0\Rightarrow\binom{n}{k}=0\) e anche che \(k>n\in\mathbb{N}\Rightarrow\binom{n}{k}=0\), quest'ultima derivante dalla generalizzazione \(\binom{\alpha}{k},\alpha\in\mathbb{R}\) con \(\alpha=n\in\mathbb{N}\subset \mathbb{R}\).
Ciao![/quote]
perdonami ma a leggerti ci vuole arte (prendilo come un complimento)... mi ricordi il mio docente di algebra V. Pipitone ... cmq sia, non ho capito se è giusto mettere/porre $$ a+b \neq 0 \vee n \neq 0 $$..??Thanks della risposta! Saluti!
P.S.= Quando hai detto/scritto:
"DavideGenova":
... È, credo, accettato come convenzione algebrica l'intendere che ogni prodotto vuoto valga 1 ed è, direi, decisamente comune intendere che, nelle sommatorie, valga $a^0=1$ anche se al posto di $a$ si sostuitisce lo 0 ...
nn capisco alcune cose, tipo "prodotto vuoto" e "valga $a^0=1$ anche se al posto di $a$ si sostuitisce lo 0", rispetto a quest'ultima non dovrei evitare, quando posso, la f.i. \( 0^0 \)? Thanks in anticipo!
"garnak.olegovitc":Per gli usi che ho trovato spesso sia nelle sommatorie nei testi di qualunque branca della matematica, sia in algebra (nel qual caso credo che si giustifichi la cosa con il concetto di prodotto vuoto, vedi sotto) e in matematica discreta, si può scrivere \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k\) anche intendendo convenzionalmente che, se $a=0$ e $n=0$, allora $a^n=1$. C'era anche un topic nel forum intitolato $0^0$ o qualcosa del genere, ma non lo trovo...
è giusto mettere/porre $$ a+b \neq 0 \vee n \neq 0 $$..??
"garnak.olegovitc":Per ogni monoide -e ogni anello è un monoide rispetto alla moltiplicazione di anello- scritto in notazione moltiplicativa si definisce\[\prod_{i=1}^n a_i:=a_1...a_n\]ponendo convenzionalmente (è utile e semplifica le notazioni in molti casi snellendo le dimostrazioni) \[\prod_{i=1}^0 a_i:=1\]dove 1 è l'elemento neutro rispetto all'operazione di monoide. Ora, se $a=a_1=...=a_n$, si abbrevia scrivendo \[a^n:=\prod_{i=1}^n a,\quad a^0:=\prod_{i=1}^0 a=1.\]
nn capisco alcune cose, tipo "prodotto vuoto"
Analogamente la sommatoria vuota vale 0 inteso come elemento neutro del gruppo, o del monoide, additivo. Somme e prodotti sono vuoti quando sono della forma $\sum_{i=m}^n a_i$ o $\prod_{i=m}^n a_i$ con $m>n$ e trovo estremamente utile una tale definizione, che ho incontrato nel mio testo di algebra. Se l'avessi saputo prima non mi sarei messo a riscrivere con carta e penna tante dimostrazioni trovate nei testi di matematica distinguendo i casi in cui scritture $\sum_{i=m}^n a_i$ mi sembravano non avere senso nei casi limite in cui mi sarei ritrovato con $m>n$. Ho trovato anche matrici vuote, il cui determinante è \(|()|:=1\), 0-ple, partizioni vuote..., da me ritenute estremamente utili...
Ciao!
"DavideGenova":
...Per ogni monoide -e ogni anello unitario è un monoide rispetto alla moltiplicazione di anello...
"DavideGenova":Riesco a capire le \(\displaystyle0\)-ple, ma il resto?
...Ho trovato anche matrici vuote, il cui determinante è \( |()|:=1 \), 0-ple, partizioni vuote...
@DavideGenova,
certo che la produttoria di \( a_i \) con \( i \) che va da \( 1 \) a \( 0 \) mi è difficile concepirla mentalmente/concretamente, ... le \(0\)-ple le conosco e le ho anche usate, ma le matrici vuote nn penso mi saranno "estremamente utili"
.. però aldilà di tutto, mi sembra di capire che tu stai (ri)definendo/prendendo/presentando \(\Bbb{R} \) come campo esponenziale, e quindi con una funzione che ha proprio quelle caratteristiche.. .. correggimi (o correggetemi, mi rivolgo anche ad altri) se sbaglio in quanto non sono esperto in materia!
Saluti
P.S.=Che intendi per "partizioni vuote"?
"DavideGenova":
Per ogni monoide -e ogni anello è un monoide rispetto alla moltiplicazione di anello- scritto in notazione moltiplicativa si definisce\[\prod_{i=1}^n a_i:=a_1...a_n\]ponendo convenzionalmente (è utile e semplifica le notazioni in molti casi snellendo le dimostrazioni) \[\prod_{i=1}^0 a_i:=1\]dove 1 è l'elemento neutro rispetto all'operazione di monoide. Ora, se $a=a_1=...=a_n$, si abbrevia scrivendo \[a^n:=\prod_{i=1}^n a,\quad a^0:=\prod_{i=1}^0 a=1.\]
Analogamente la sommatoria vuota vale 0 inteso come elemento neutro del gruppo, o del monoide, additivo. Somme e prodotti sono vuoti quando sono della forma $\sum_{i=m}^n a_i$ o $\prod_{i=m}^n a_i$ con $m>n$ e trovo estremamente utile una tale definizione, che ho incontrato nel mio testo di algebra. Se l'avessi saputo prima non mi sarei messo a riscrivere con carta e penna tante dimostrazioni trovate nei testi di matematica distinguendo i casi in cui scritture $\sum_{i=m}^n a_i$ mi sembravano non avere senso nei casi limite in cui mi sarei ritrovato con $m>n$. Ho trovato anche matrici vuote, il cui determinante è \(|()|:=1\), 0-ple, partizioni vuote..., da me ritenute estremamente utili...
Ciao!
certo che la produttoria di \( a_i \) con \( i \) che va da \( 1 \) a \( 0 \) mi è difficile concepirla mentalmente/concretamente, ... le \(0\)-ple le conosco e le ho anche usate, ma le matrici vuote nn penso mi saranno "estremamente utili"
.. però aldilà di tutto, mi sembra di capire che tu stai (ri)definendo/prendendo/presentando \(\Bbb{R} \) come campo esponenziale, e quindi con una funzione che ha proprio quelle caratteristiche.. .. correggimi (o correggetemi, mi rivolgo anche ad altri) se sbaglio in quanto non sono esperto in materia! Saluti
P.S.=Che intendi per "partizioni vuote"?
"j18eos":[/quote]Sì, sì, ho sbagliato a non specificarlo: è perché il testo che ho usato io, il Bosch chiama anello tour court un anello unitario.
[quote="DavideGenova"]...Per ogni monoide -e ogni anello unitario è un monoide rispetto alla moltiplicazione di anello...
"j18eos":Riesco a capire le \(\displaystyle0\)-ple, ma il resto?
[quote="DavideGenova"]...Ho trovato anche matrici vuote, il cui determinante è \( |()|:=1 \), 0-ple, partizioni vuote...
[/quote]"garnak.olegovitc":Per le matrici vuote, ne ho trovato definito il determinante qui: è sostanzialmente un caso particolare di prodotto vuoto. Per le 0-partizioni, e altri oggetti di interesse di combinatoria e matematica discreta, li ho trovati per esempio in Calcolo discreto di Mariconda e Tonolo, qui.
P.S.=Che intendi per "partizioni vuote"?
"garnak.olegovitc":È definita così ed è utile che lo sia, come il resto: me ne sono accorto per come questo modo di pensare semplifica le notazione e le dimostrazioni, come quelle per induzione. Forse ti è più familiare il fatto che \(1!=1\), \(2!=1\cdot 2\), \(3!=1\cdot 2\cdot 3\)... e \(0!=1\): per ogni \(n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\) l'$n$-fattoriale può essere, con la convenzione discussa, definito come $n!:=\prod_{k=1}^n k$.
certo che la produttoria di \( a_i \) con \( i \) che va da \( 1 \) a \( 0 \) mi è difficile concepirla mentalmente/concretamente
"garnak.olegovitc":Non conoscevo i campi esponenziali, ma, da quello che mi pare di capire dalla Wikipedia, non mi sembra sbagliato dire che una tale convenzione permetta di definire la funzione esponenziazione \(E:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto a^x\) per ogni $a\geq 0$ piuttosto che solo $a>0$.
mi sembra di capire che tu stai (ri)definendo/prendendo/presentando \( \Bbb{R} \) come campo esponenziale
Comunque, anche se trovo comodo scrivere cose come quella nella tua firma (anche per $x=0$) piuttosto di \(\forall x\in \mathbb{C}\quad e^{ix}=1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(ix)^k}{k!}\) o di distinguere i casi scrivendo \(\forall x\in \mathbb{C}\setminus\{0\}\quad e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(ix)^k}{k!}\quad\wedge\quad e^0=1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{0^k}{k!}=1\), non sono solito scrivere e non scriverei mai ad un esame, a meno che così non avesse insegnato il docente, la formula $0^0$ esplicitamente, per i problemi che presenta qualora non si adotti la convenzione dell'unitarietà del prodotto vuoto.
@DavideGenova,
aspetta aspetta, voglio capire bene questo fatto purtroppo non mi è tanto immediato, vediamo intanto se la potenza di base un numero reale \( a \in \Bbb{R} \) ed esponente un numero naturale \( 0 \leq b \in \Bbb{N} \) la intendi come la intendo io, ovvero $$a^b=\begin{cases} 1, & \mbox{if } b=0 \wedge a\neq 0 \\ a, & \mbox{if } b=1 \\ a \cdot a^{b-1}, & \mbox{if } b>1
\end{cases}$$ ?? E se la def. di campo esponenziale la intendi in questo modo:
???
Ringrazio anticipatamente!
aspetta aspetta, voglio capire bene questo fatto purtroppo non mi è tanto immediato, vediamo intanto se la potenza di base un numero reale \( a \in \Bbb{R} \) ed esponente un numero naturale \( 0 \leq b \in \Bbb{N} \) la intendi come la intendo io, ovvero $$a^b=\begin{cases} 1, & \mbox{if } b=0 \wedge a\neq 0 \\ a, & \mbox{if } b=1 \\ a \cdot a^{b-1}, & \mbox{if } b>1
\end{cases}$$ ?? E se la def. di campo esponenziale la intendi in questo modo:
siano dati \( E \) un campo rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), ed \( f: E \to E \), dicesi che \( E \) è campo esponenziale (rispetto ad \( f \) ) se \(f(0_E)=1_E \wedge f((a+b))=f(a) \cdot f(b) \)
???
Ringrazio anticipatamente!
@DavideGenova,
forse nn occorre nemmeno definire/usare il campo esponenziale... mi basta estendere la def. potenza di base reale ed esponente naturale anche nel caso in cui \( a=0 \), quindi nella definizione per casi mi basta togliere dal primo caso \( a \neq 0\) ed usare questa nel coefficiente binomiale... Aspetto tue delucidazioni!
Saluti
forse nn occorre nemmeno definire/usare il campo esponenziale... mi basta estendere la def. potenza di base reale ed esponente naturale anche nel caso in cui \( a=0 \), quindi nella definizione per casi mi basta togliere dal primo caso \( a \neq 0\) ed usare questa nel coefficiente binomiale... Aspetto tue delucidazioni!
Saluti
"garnak.olegovitc":
aspetta aspetta, voglio capire bene questo fatto purtroppo non mi è tanto immediato, vediamo intanto se la potenza di base un numero reale \( a \in \Bbb{R} \) ed esponente un numero naturale \( 0 \leq b \in \Bbb{N} \) la intendi come la intendo io, ovvero $$a^b=\begin{cases} 1, & \mbox{if } b=0 \wedge a\neq 0 \\ a, & \mbox{if } b=1 \\ a \cdot a^{b-1}, & \mbox{if } b>1
\end{cases}$$ ??
"garnak.olegovitc":Beh, adottando la convenzione di cui si è parlato, direi che una definizione equivalente alla $a^b=\prod_{i=1}^b a$ di sopra sia proprio$$a^b=\begin{cases} 1, & \mbox{if } b=0 \\ a, & \mbox{if } b=1 \\ a \cdot a^{b-1}, & \mbox{if } b>1
mi basta estendere la def. potenza di base reale ed esponente naturale anche nel caso in cui \( a=0 \), quindi nella definizione per casi mi basta togliere dal primo caso \( a \neq 0\) ed usare questa nel coefficiente binomiale...
\end{cases}$$
"garnak.olegovitc":Quando ho aperto il tuo link è stata la prima volta che ho letto di campi esponenziali e non ne so quindi nulla, ma questa definizione mi sembra coincidere con quel
E se la def. di campo esponenziale la intendi in questo modo:siano dati \( E \) un campo rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), ed \( f: E \to E \), dicesi che \( E \) è campo esponenziale (rispetto ad \( f \) ) se \(f(0_E)=1_E \wedge f((a+b))=f(a) \cdot f(b) \)
Failed to parse(unknown function '\begin'): {\begin{aligned}&E(a+b)=E(a)\cdot E(b),\\&E(0_{F})=1_{F}\end{aligned}} della Wikipedia, che direi sia da leggere\[E(a+b)=E(a)\cdot E(b)\]\[E(0_{F})=1_{F}\]Comunque non vorrei dirti scemenze perché di campi esponenziali non so proprio nulla..."garnak.olegovitc":Infatti la regola del prodotto vuoto l'ho trovata enunciata nel Bosch per qualunque monoide con notazione moltiplicativa, senza limitarsi al monoide/gruppo moltiplicativo di un campo.
forse nn occorre nemmeno definire/usare il campo esponenziale...
@DavideGenova,
thanks ugualmente, ho chiarito/risolto il mio dubbio/problema...
Saluti
P.S.=per chi fosse interessato, al punto, nel senso stretto del termine, 4 di questa pagina: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... er_of_zero si parla di questa questione, rimandando con apice \( 8 \) al testo/pubblicazione di
Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik (1989-01-05). "Binomial coefficients". Concrete Mathematics (1st ed.). Addison Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8.
spulciando online sono riuscito a trovarlo:
http://www.matematica.net/portal/e-book ... matics.pdf
ops... inoltre, provate a cancellare nel link di sopra soltanto la parte "Graham%20-%20Knuth%20-%20Patashnik%20-%20%20Concrete%20Mathematics.pdf" 
(penso di nn fare nulla di illegale )
thanks ugualmente, ho chiarito/risolto il mio dubbio/problema...
Saluti
P.S.=per chi fosse interessato, al punto, nel senso stretto del termine, 4 di questa pagina: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... er_of_zero si parla di questa questione, rimandando con apice \( 8 \) al testo/pubblicazione di
Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik (1989-01-05). "Binomial coefficients". Concrete Mathematics (1st ed.). Addison Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8.
spulciando online sono riuscito a trovarlo:
http://www.matematica.net/portal/e-book ... matics.pdf
ops... inoltre, provate a cancellare nel link di sopra soltanto la parte "Graham%20-%20Knuth%20-%20Patashnik%20-%20%20Concrete%20Mathematics.pdf"
(penso di nn fare nulla di illegale )
@DavideGenova,
se ti possono interessare i campi (o anelli) esponenziali io ho letto, oltre wikipedia, anche:
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSMF/ ... __85_0.pdf
http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Dis ... age=record
Saluti
se ti possono interessare i campi (o anelli) esponenziali io ho letto, oltre wikipedia, anche:
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSMF/ ... __85_0.pdf
http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Dis ... age=record
Saluti
Спасибо!
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