Studio iniettività e suriettività
Ciao a tutti,
mi potreste, per favore, spiegare come si studia l'iniettività e la suriettività di una funzione del tipo $f(n)=5n$ $n\inN$
Grazie mille a tutti.
mi potreste, per favore, spiegare come si studia l'iniettività e la suriettività di una funzione del tipo $f(n)=5n$ $n\inN$
Grazie mille a tutti.
Risposte
Comincia a esporre qualche tua idea.
Ciao, sappiamo che una funzione iniettiva manda elementi diversi in elementi diversi, cioè$$
\forall x_1, x_2 \in \mathbb{D}, x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)
$$
Allora ti devi chiedere: "posso prendere due elementi diversi e trovare che hanno la stessa immagine? Perchè?"
Inoltre una funzione è suriettiva ogni elemento dell'insieme di arrivo è "raggiungibile", cioè se è immagine di qualche elemento dell'insieme di partenza, quindi devi chiederti "posso ottenere qualsiasi numero con questa funzione? Perchè?"
In formule$$
\forall b \in \mathbb{B}\ \exists a \in \mathbb{A}\ |\ b = f(a)
$$
\forall x_1, x_2 \in \mathbb{D}, x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)
$$
Allora ti devi chiedere: "posso prendere due elementi diversi e trovare che hanno la stessa immagine? Perchè?"
Inoltre una funzione è suriettiva ogni elemento dell'insieme di arrivo è "raggiungibile", cioè se è immagine di qualche elemento dell'insieme di partenza, quindi devi chiederti "posso ottenere qualsiasi numero con questa funzione? Perchè?"
In formule$$
\forall b \in \mathbb{B}\ \exists a \in \mathbb{A}\ |\ b = f(a)
$$
Per lo studio dell'iniettività ho fatto il seguente procedimento:
Siano $h, k$ due numeri pari ($2h,2k \forallh,k \in N)
$ 5(2h)=5(2k) hArr 10h=10k hArr h=k $ dunque $f$ è iniettiva.
Siano $h, k$ due numeri dispari($2h+1,2k+1 \forallh,k \in N)
$ 5(2h+1)=5(2k+1) hArr 10h+5=10k+5 hArr h=k $ dunque $f$ è iniettiva.
Sia $h$ pari ($2h \forall h \in N) e $k$ dispari ($2k+1 \forall k \in N)
$ 5(2h)=5(2k+1) hArr 10h=10k+5 hArr 2h=2k+1 $ dove $2h$ è sicuramente pari e $2k+1$ è sicuramente dispari, dunque essendo falsa la premessa l'implicazione è vera e quindi abbiamo dimostrato che la $f$ è iniettiva.
Per lo studio della suriettività ho pensato che ad esempio $3$ non è immagine di nessun $ n \in N$, infatti avremmo $f(n)=3$ ovvero $5n=3$ ma $3$ non è multiplo di $5$ dunque $f$ non è suriettiva.
Poichè la $f(n)$ è iniettiva ma non suriettiva essa non è biettiva.
Siano $h, k$ due numeri pari ($2h,2k \forallh,k \in N)
$ 5(2h)=5(2k) hArr 10h=10k hArr h=k $ dunque $f$ è iniettiva.
Siano $h, k$ due numeri dispari($2h+1,2k+1 \forallh,k \in N)
$ 5(2h+1)=5(2k+1) hArr 10h+5=10k+5 hArr h=k $ dunque $f$ è iniettiva.
Sia $h$ pari ($2h \forall h \in N) e $k$ dispari ($2k+1 \forall k \in N)
$ 5(2h)=5(2k+1) hArr 10h=10k+5 hArr 2h=2k+1 $ dove $2h$ è sicuramente pari e $2k+1$ è sicuramente dispari, dunque essendo falsa la premessa l'implicazione è vera e quindi abbiamo dimostrato che la $f$ è iniettiva.
Per lo studio della suriettività ho pensato che ad esempio $3$ non è immagine di nessun $ n \in N$, infatti avremmo $f(n)=3$ ovvero $5n=3$ ma $3$ non è multiplo di $5$ dunque $f$ non è suriettiva.
Poichè la $f(n)$ è iniettiva ma non suriettiva essa non è biettiva.
Per la suriettività va bene così ma per l'iniettività si poteva fare molto più rapidamente.$$
x_1 \ne x_2 \Rightarrow 5x_1 \ne 5x_2 \ \forall x_1, x_2 \in \mathbb{D}
$$
x_1 \ne x_2 \Rightarrow 5x_1 \ne 5x_2 \ \forall x_1, x_2 \in \mathbb{D}
$$
Per l'iniettività io la svolgerei così:
$forall x,y in NN, x≠y Rightarrow x-y≠0 Rightarrow 5(x-y)≠0 rightarrow 5x≠5y.$
Per la suriettività, ragionando per assurdo, supponiamo lo sia:
$forall a in NN_C, a=5*x, x in NN_D Rightarrow x=a/5 Rightarrow Per$ $a=1, x=1/5 notin NN.$ $ASSURDO$
(N.B. $NN_D$, $NN_C$ rappresentano dominio e codominio della nostra funzione)
$forall x,y in NN, x≠y Rightarrow x-y≠0 Rightarrow 5(x-y)≠0 rightarrow 5x≠5y.$
Per la suriettività, ragionando per assurdo, supponiamo lo sia:
$forall a in NN_C, a=5*x, x in NN_D Rightarrow x=a/5 Rightarrow Per$ $a=1, x=1/5 notin NN.$ $ASSURDO$
(N.B. $NN_D$, $NN_C$ rappresentano dominio e codominio della nostra funzione)
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