Strutture Elementarmente Equivalenti

[M.C.D.1]

Salve ragazzi
Sto studiando nella logica dei predicati del primo ordine le strutture elementarmente equivalenti:

Ovvero Siano $M$ ed $N$ Due Strutture, diremo che sono elementarmente equivalenti $M -= N $ se
per ogni formula chiusa $alpha$ vera in $M$ allora risulta vera in $N$ e viceversa.

Sto cercando di stabilire se $(QQ, + ,*,0,1)$ e $(QQ[X], + , *,0,1)$ sono elementarmente equivalenti

purtroppo non riesco a trovare una formula che possa essere valida in uno ma non nell'altro.
O alternativamente un isomorfismo tra le due strutture che mi permetta cosi' di dire che sono elementarmente equivalenti.

Qualche suggerimento?

Ringrazio anticipatamente

[perplesso1]

L'esistenza degli inversi è vera in $QQ[X]$

[Kashaman]

$Q$ e $Q[X]$ non sono isomorfi..
In particolare, in $Q[x]$ ,come ti ha fatto notare perplesso, i soli elementi invertibili sono i termini noti. (escluso lo zero ovviamente)
Ma c'è di più!
In generale , vale la seguente
sia $A$ un anello e $A[x]$ l'anello di polinomi a coefficienti in A.
Allora $A'$ , insieme dei polinomi costanti di $A[x]$, è un sotto anello di $A[x]$ e in particolare risulta che
esiste un isomorfismo tra $A$ ed $A'$.

[M.C.D.1]

Capisco
Invece Considerando $(NN, <)$ e ($P(NN), \sub) $
Sicuramente non sono isomorfi, $(NN, <)$ non e' sottostruttura di $P(NN), sub$,
inoltre penso non siano elementarmente equivalenti perche' se considero ad esempio la formula:

$ forall y forall x ( x < y or y < x)$
sicuramente in $(NN, <)$ e' vera ma in ($P(NN), sub)$ no perche' non tutti gli elementi sono confrontabili

Quindi non sono ne isomorfi, ne elementarmente equivalenti, ne l'uno sottostruttura dell'altro.

E' corretto?

[perplesso1]

"M.C.D.":Quindi non sono ne isomorfi, ne elementarmente equivalenti

Giusto.

"M.C.D.":ne l'uno sottostruttura dell'altro.

Sbagliato. $NN$ si può immergere in $P(NN)$ in tanti modi, per esempio identificando $n$ con ${0,1,2,...,n-1}$

$0 <= 1 <= 2 <= 3 <= 4 ...$

$ \emptyset \subset {0} \subset {0,1} \subset {0,1,2} \subset {0,1,2,3} \subset .... $

[M.C.D.1]

Pero' dalla definizione di sottostruttura ogni simbolo di relazione non dovrebbe essere una restrizione agli elementi di $NN$ della relazione di $P(NN)$?
Forse non mi e' ben chiaro il concetto di sottostruttura.
Come faccio dal punto di vista pratico a verficare se due strutture sono una sottostruttura dell'altra?

[perplesso1]

Perdonami ho frainteso , quando hai parlato di sottostruttura pensavo intendessi dal punto di vista algebrico, per questo ti ho fatto notare che era possibile costruire un monomorfismo fra quei due insiemi ordinati. E difatti se restringi $\subseteq$ agli insiemi di quel tipo che ho detto prima ottieni una struttura isomorfa a $(N, <=)$ Ma forse tu intendevi altro. Mi scuso.

[M.C.D.1]

No ma figurati, anzi ne approfitto per ringraziarti di tutto l'aiuto
A dir la verita' io non son riuscito a trovare una definizione chiara del concetto di sottostruttura.
Quella a cui mi rifaccio e' questa:

Date due L-strutture $A$ e $B$ diciamo che $A$ e' una sottostruttura di B se dom(A) ⊆ dom(B) e la funzione di inclusione
$i: dom(A) → dom(B)$ e' una immersione. Cio significa che i simboli di costante sono intepretati nello
stesso modo in $A$ e in $B$, e i simboli di funzione e relazione sono interpretati in $A$ come la restrizione agli elementi di $A$ delle funzioni e relazioni che intepretano gli stessi simboli in $B$.

Ecco perche' sulla base di questa ho detto che non fossero sottostrutture l'uno dell'altra.
Tu Che ne pensi?

[perplesso1]

Con questa definizione hai ragione tu perchè i due domini $NN$ e $P(NN)$ non sono confrontabili con la semplice inclusione insiemistica.

[M.C.D.1]

Invece per quanto riguarda $(NN, <)$ e $(QQ, <)$
Sicuramente $(NN, <)$ è sottostruttura di $(QQ, <)$

Per verificare se siano o meno elementarmente equivalenti ho provato a considerare la seguente formula chiusa:

$exists x forall y ( not(x=y) -> x
Sicuramente tale formula vale in $(NN, <)$ ma non in $(QQ, <)$
Quindi non sono elementarmente equivalenti, per cui non sono nemmeno isomorfi
E' corretto?

[perplesso1]

"M.C.D.":E' corretto?

Penso di si, praticamente hai detto che $NN$ ha il minimo e $QQ$ no. Un'altra affermazione che poteva fare la differenza è $\forall x \forall y \exists z ( (x < z < y) vv (y

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