Strutture algebriche
Salve mi sto preparando per un esame e purtroppo non riesco a risolvere tale esercizio :
Esercizio 3. Sia assegnata sull’insieme A = R ⇥ R la seguente operazione ⇤ : A ⇥ A x A, tale
che
per ogni (a,x),(b,y) appartenente ad A : (a,x)*(b,y)=(2/5ab , 3/4+y+x)
(1) Determinare se l’operazione è associativa.
(2) Determinare se l’operazione è commutativa.
(3) Determinare, se esiste, l’elemento neutro della struttura algebrica (A, ⇤).
(4) Determinare in modo esplicito, se esiste, l’inverso di (2, -3)
in (A, ⇤).
Il problema principale è che pur avendo appreso la teoria non riesco ad applicarla ad esercizi come questo . Grazie in anticipo
Esercizio 3. Sia assegnata sull’insieme A = R ⇥ R la seguente operazione ⇤ : A ⇥ A x A, tale
che
per ogni (a,x),(b,y) appartenente ad A : (a,x)*(b,y)=(2/5ab , 3/4+y+x)
(1) Determinare se l’operazione è associativa.
(2) Determinare se l’operazione è commutativa.
(3) Determinare, se esiste, l’elemento neutro della struttura algebrica (A, ⇤).
(4) Determinare in modo esplicito, se esiste, l’inverso di (2, -3)
in (A, ⇤).
Il problema principale è che pur avendo appreso la teoria non riesco ad applicarla ad esercizi come questo . Grazie in anticipo
Risposte
perdonami, ma non si comprende bene com'è definita l'operazione tra le due coppie quando scrivi:
Inoltre non capisco in che struttura algebrica stai operando.
Ad ogni modo, se intendi che $(a,x)(b,y)=(\frac2 5 ab, \frac3 4 +y+x)$, ed a prescindere dal fatto che andrebbero verificate le proprietà associativa e commutativa, per l'individuazione dell'elemento neutro, se fossimo in un gruppo,
dato $e=(m,n) \in A|(a,x)(m,n)=(m,n)(a,x)=(a,x)$
proverei a porre $\frac2 5 am = a$ e $\frac3 4 +n+x=x$ e ricaverei $m$ e $n$ posto poi verificare che sia anche viceversa.
Prendi ovviamente con le pinze quanto da me scritto perché sono alle primissime armi.
PS. pur essendo nuovo come te ho notato che è apprezzato l'uso del Tex (che sto imparando con pazienza), e ne comprendo bene i motivi, per cui prova se riesci a chiarire il problema.
"Pandemic":
...per ogni (a,x),(b,y) appartenente ad A : (a,x)*(b,y)=(2/5ab , 3/4+y+x)...
Inoltre non capisco in che struttura algebrica stai operando.
Ad ogni modo, se intendi che $(a,x)(b,y)=(\frac2 5 ab, \frac3 4 +y+x)$, ed a prescindere dal fatto che andrebbero verificate le proprietà associativa e commutativa, per l'individuazione dell'elemento neutro, se fossimo in un gruppo,
dato $e=(m,n) \in A|(a,x)(m,n)=(m,n)(a,x)=(a,x)$
proverei a porre $\frac2 5 am = a$ e $\frac3 4 +n+x=x$ e ricaverei $m$ e $n$ posto poi verificare che sia anche viceversa.
Prendi ovviamente con le pinze quanto da me scritto perché sono alle primissime armi.
PS. pur essendo nuovo come te ho notato che è apprezzato l'uso del Tex (che sto imparando con pazienza), e ne comprendo bene i motivi, per cui prova se riesci a chiarire il problema.
"algibro":
perdonami, ma non si comprende bene com'è definita l'operazione tra le due coppie quando scrivi:
[quote="Pandemic"]
...per ogni (a,x),(b,y) appartenente ad A : (a,x)*(b,y)=(2/5ab , 3/4+y+x)...
Inoltre non capisco in che struttura algebrica stai operando.
Ad ogni modo, se intendi che $(a,x)(b,y)=(\frac2 5 ab, \frac3 4 +y+x)$, ed a prescindere dal fatto che andrebbero verificate le proprietà associativa e commutativa, per l'individuazione dell'elemento neutro, se fossimo in un gruppo,
dato $e=(m,n) \in A|(a,x)(m,n)=(m,n)(a,x)=(a,x)$
proverei a porre $\frac2 5 am = a$ e $\frac3 4 +n+x=x$ e ricaverei $m$ e $n$ posto poi verificare che sia anche viceversa.
Prendi ovviamente con le pinze quanto da me scritto perché sono alle primissime armi.
PS. pur essendo nuovo come te ho notato che è apprezzato l'uso del Tex (che sto imparando con pazienza), e ne comprendo bene i motivi, per cui prova se riesci a chiarire il problema.[/quote]
La struttura algebrica da me richiesta è quella che hai appena scritto (imparerò ad utilizzare l'uso tex soprattutto per chiarezza verso gli altri utenti) comunque il mio problema principale è dimostrare le proprietà associativa e commutativa . Grazie per la risposta
L'associatività e commutatività sono facili da provare contando 
L'esistenza di un inverso per ogni elemento però non la hai, perché hai delle condizioni aggiuntive: dato che l'elemento neutro è il vettore $(5/2, -3/4)$ si deve avere $\frac{2 a b}{5}=\frac{5}{2}1$ e $x+y+\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$. Sicché si risolvono questi due sistemini per avere che
\[
(a,x)^{-1} = \left( \frac{25}{4a}, -\frac{6}{4}-x\right)
\]
Quando $a=0$, non puoi però risolvere la prima delle due equazioni, e quindi nessun elemento della forma $(0,x)$.
L'esistenza di un inverso per ogni elemento però non la hai, perché hai delle condizioni aggiuntive: dato che l'elemento neutro è il vettore $(5/2, -3/4)$ si deve avere $\frac{2 a b}{5}=\frac{5}{2}1$ e $x+y+\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$. Sicché si risolvono questi due sistemini per avere che
\[
(a,x)^{-1} = \left( \frac{25}{4a}, -\frac{6}{4}-x\right)
\]
Quando $a=0$, non puoi però risolvere la prima delle due equazioni, e quindi nessun elemento della forma $(0,x)$.
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