Strutture agebriche - gruppo abeliano
Ciao a tutti,
sto studiando geometria e algebra lineare per conto mio e avrei dei dubbi circa il gruppo abeliano, ma più specificatamente circa la procedura di risoluzione di alcuni quesiti. Mi spiego meglio:
ho alcuni esercizi come questo
-Mostrare che $Z$ munito del prodotto $m \odot n = m + n + 1$ è un gruppo abeliano.
Tralasciando il fatto che ho impiegato un po' per capire che il simbolo $\odot$ indica un'operazione binaria generica (perchè sul mio libro non c'è una lista dei simboli), come svolgo l'esercizio sopra? Lo indico come tesi e ne faccio una dimostrazione?
scusate l'ignoranza ma sono veramente niubbo in questo campo.
grazie a chi risponderà
sto studiando geometria e algebra lineare per conto mio e avrei dei dubbi circa il gruppo abeliano, ma più specificatamente circa la procedura di risoluzione di alcuni quesiti. Mi spiego meglio:
ho alcuni esercizi come questo
-Mostrare che $Z$ munito del prodotto $m \odot n = m + n + 1$ è un gruppo abeliano.
Tralasciando il fatto che ho impiegato un po' per capire che il simbolo $\odot$ indica un'operazione binaria generica (perchè sul mio libro non c'è una lista dei simboli), come svolgo l'esercizio sopra? Lo indico come tesi e ne faccio una dimostrazione?
scusate l'ignoranza ma sono veramente niubbo in questo campo.
grazie a chi risponderà
Risposte
@mirkobh,
non è difficile, potresti provare a vedere il simbolo \(m \odot n \) in, notazione prefissa (o: polacca), \( \odot (m,n) \), ergo sai che la def. di gruppo abeliano diventa, sperando che \( Z=\Bbb{Z} \):
\( \forall m,n \in \Bbb{Z} ( \odot (m,n)=\odot(n,m)) \)
\( \forall m,n,o \in \Bbb{Z} ( \odot (\odot(m,n), o)=\odot (m, \odot (n,o)))\)
\( \exists e \in \Bbb{Z}( \forall m \in \Bbb{Z}(\odot(m,e)=\odot(e,m)=m) \)
\( \forall m \in \Bbb{Z}( \exists m' \in \Bbb{Z}(\odot(m,m')=\odot(m',m)=e) \)
magari così intuisci meglio come procedere.. spero tu riesca a risolvere da solo l'esercizio!
facci sapere
Saluti
P.S.=La notazione prefissa somiglia moltissimo alla classica notazione dell'immagine di una funzione (e l'operazione binaria è una funzione)...
ricordati che \( \Bbb{Z} \) per ipotesi lo prendi già noto con l'operazione \( + \) e le sue proprietà..
"mirkobh":
Ciao a tutti,
sto studiando geometria e algebra lineare per conto mio e avrei dei dubbi circa il gruppo abeliano, ma più specificatamente circa la procedura di risoluzione di alcuni quesiti. Mi spiego meglio:
ho alcuni esercizi come questo
-Mostrare che $Z$ munito del prodotto $m \odot n = m + n + 1$ è un gruppo abeliano.
Tralasciando il fatto che ho impiegato un po' per capire che il simbolo $\odot$ indica un'operazione binaria generica (perchè sul mio libro non c'è una lista dei simboli), come svolgo l'esercizio sopra? Lo indico come tesi e ne faccio una dimostrazione?
scusate l'ignoranza ma sono veramente niubbo in questo campo.
grazie a chi risponderà
non è difficile, potresti provare a vedere il simbolo \(m \odot n \) in, notazione prefissa (o: polacca), \( \odot (m,n) \), ergo sai che la def. di gruppo abeliano diventa, sperando che \( Z=\Bbb{Z} \):
\( \forall m,n \in \Bbb{Z} ( \odot (m,n)=\odot(n,m)) \)
\( \forall m,n,o \in \Bbb{Z} ( \odot (\odot(m,n), o)=\odot (m, \odot (n,o)))\)
\( \exists e \in \Bbb{Z}( \forall m \in \Bbb{Z}(\odot(m,e)=\odot(e,m)=m) \)
\( \forall m \in \Bbb{Z}( \exists m' \in \Bbb{Z}(\odot(m,m')=\odot(m',m)=e) \)
magari così intuisci meglio come procedere.. spero tu riesca a risolvere da solo l'esercizio!
facci sapereSaluti
P.S.=La notazione prefissa somiglia moltissimo alla classica notazione dell'immagine di una funzione (e l'operazione binaria è una funzione)...
ricordati che \( \Bbb{Z} \) per ipotesi lo prendi già noto con l'operazione \( + \) e le sue proprietà..
grazie della risposta! sarei perso altrimenti
si intendevo $\mathbb(Z)$
in pratica tu hai elencato, dimmi se sbaglio, le proprietà commutativa, associativa, di esistenza dell'elemento neutro e dell'esistenza degli elementi inversi, ovvero le proprietà di un gruppo abeliano. quindi dovrò semplicemente verificare queste proprietà su $\mathbb(Z)$, giusto?
vediamo:
tesi: $ m \odot n = m + n + 1$
dim:
$\forall m,n \in \mathbb{Z}$ $(m + n) +1 = m + (n + 1)$ proprietà associativa
$\forall m,n \in \mathbb{Z}$ $m+n+1=n+m+1$ proprietà commutativa
$\exists e \in \mathbb{Z}$ $m+n+1+e=e+m+n+1=m+n+1$ dove $e=0$ esistenza elemento neutro
$\forall m$ $ \exists m' $ $m+n+1=n+1+m'$
$m+n+1-n-1-1/m=0$
$m=1/m$
$m^2=1$ $m=1$ esistenza degli elementi inversi
mi pare siano tutte verificate, che dici?
non so se il formalismo che adotto sia corretto
si intendevo $\mathbb(Z)$
in pratica tu hai elencato, dimmi se sbaglio, le proprietà commutativa, associativa, di esistenza dell'elemento neutro e dell'esistenza degli elementi inversi, ovvero le proprietà di un gruppo abeliano. quindi dovrò semplicemente verificare queste proprietà su $\mathbb(Z)$, giusto?
vediamo:
tesi: $ m \odot n = m + n + 1$
dim:
$\forall m,n \in \mathbb{Z}$ $(m + n) +1 = m + (n + 1)$ proprietà associativa
$\forall m,n \in \mathbb{Z}$ $m+n+1=n+m+1$ proprietà commutativa
$\exists e \in \mathbb{Z}$ $m+n+1+e=e+m+n+1=m+n+1$ dove $e=0$ esistenza elemento neutro
$\forall m$ $ \exists m' $ $m+n+1=n+1+m'$
$m+n+1-n-1-1/m=0$
$m=1/m$
$m^2=1$ $m=1$ esistenza degli elementi inversi
mi pare siano tutte verificate, che dici?
non so se il formalismo che adotto sia corretto
@mirkobh,
non mi convinci come hai provato/dimostrato quelle uguaglianze... , in sostante noi abbiamo una operazione binaria ovunque definite in \( \Bbb{Z} \) ovvero \( \odot: \Bbb{Z}^2 \to \Bbb{Z} \) dove \( \forall (a,b) \in \Bbb{Z}^2(\odot(a,b)=(a \odot b)=a+b+1)\), dobbiamo vedere se rispetto a \( \odot \) l'insieme \( \Bbb{Z} \) è gruppo abeliano, e quindi se (come ho scritto prima):
1) \( \forall m,n \in \Bbb{Z} ( \odot (m,n)=\odot(n,m)) \)
2) \( \forall m,n,o \in \Bbb{Z} ( \odot (\odot(m,n), o)=\odot (m, \odot (n,o))) \)
3) \( \exists e \in \Bbb{Z}( \forall m \in \Bbb{Z}(\odot(m,e)=\odot(e,m)=m) \)
4) \( \forall m \in \Bbb{Z}( \exists m' \in \Bbb{Z}(\odot(m,m')=\odot(m',m)=e) \)
verifichiamo la prima condizione, devo fare vedere l'uguaglianza $$\odot (m,n)=\odot(n,m)$$ sappiamo che $$\odot (m,n)=m+n+1 \mbox{ ; } \odot(n,m)=n+m+1$$ partendo da \( \odot(m,n) \), e sapendo che \( + \) è commutativa in \( \Bbb{Z} \) avremo $$ \odot(m,n)=m+n+1=n+m+1 $$ ma esplicitando \(\odot(n,m)\) avremo $$\odot(n,m)=n+m+1$$ e si nota banalmente, per le proprietà dell'uguaglianza, che $$ \odot(m,n)=m+n+1=n+m+1=\odot(n,m) $$ che era quello che volevasi dimostrare
verifichiamo la seconda condizione, devo fare vedere l'uguaglianza $$\odot (\odot(m,n), o)=\odot (m, \odot (n,o))$$ sappiamo che $$\odot (\odot(m,n), o)=\odot(m,n)+o+1=m+n+1+o+1$$ \( + \) è commutativa ergo continuando avremo$$\odot (\odot(m,n), o)=\odot(m,n)+o+1=m+n+1+o+1=m+1+n+o+1$$ esplicitando \( \odot (n,o)\) e \( \odot (m, \odot (n,o)) \) avremo $$ \odot (n,o)=n+o+1 \mbox{ ; } \odot (m, \odot (n,o))=m+\odot(n,o)+1$$ e continuando, sempre per le proprietà dell'uguaglianza e per la commutatività di \( + \), avremo $$\odot (\odot(m,n), o)=\odot(m,n)+o+1=m+n+1+o+1=m+1+n+o+1=m+1+\odot (n,o)=m+\odot (n,o)+1=\odot (m, \odot (n,o))$$ che era quello che volevasi dimostrare
Sei capace di continuare? Ovviamente puoi usare la tua notazione \(m \odot n \) al posto di \( \odot(m,n) \)...
Saluti
"mirkobh":
grazie della risposta! sarei perso altrimenti
si intendevo $\mathbb(Z)$
in pratica tu hai elencato, dimmi se sbaglio, le proprietà commutativa, associativa, di esistenza dell'elemento neutro e dell'esistenza degli elementi inversi, ovvero le proprietà di un gruppo abeliano. quindi dovrò semplicemente verificare queste proprietà su $\mathbb(Z)$, giusto?
vediamo:
tesi: $ m \odot n = m + n + 1$
dim:
$\forall m,n \in \mathbb{Z}$ $(m + n) +1 = m + (n + 1)$ proprietà associativa
$\forall m,n \in \mathbb{Z}$ $m+n+1=n+m+1$ proprietà commutativa
$\exists e \in \mathbb{Z}$ $m+n+1+e=e+m+n+1=m+n+1$ dove $e=0$ esistenza elemento neutro
$\forall m$ $ \exists m' $ $m+n+1=n+1+m'$
$m+n+1-n-1-1/m=0$
$m=1/m$
$m^2=1$ $m=1$ esistenza degli elementi inversi
mi pare siano tutte verificate, che dici?
non so se il formalismo che adotto sia corretto
non mi convinci come hai provato/dimostrato quelle uguaglianze...
, in sostante noi abbiamo una operazione binaria ovunque definite in \( \Bbb{Z} \) ovvero \( \odot: \Bbb{Z}^2 \to \Bbb{Z} \) dove \( \forall (a,b) \in \Bbb{Z}^2(\odot(a,b)=(a \odot b)=a+b+1)\), dobbiamo vedere se rispetto a \( \odot \) l'insieme \( \Bbb{Z} \) è gruppo abeliano, e quindi se (come ho scritto prima):1) \( \forall m,n \in \Bbb{Z} ( \odot (m,n)=\odot(n,m)) \)
2) \( \forall m,n,o \in \Bbb{Z} ( \odot (\odot(m,n), o)=\odot (m, \odot (n,o))) \)
3) \( \exists e \in \Bbb{Z}( \forall m \in \Bbb{Z}(\odot(m,e)=\odot(e,m)=m) \)
4) \( \forall m \in \Bbb{Z}( \exists m' \in \Bbb{Z}(\odot(m,m')=\odot(m',m)=e) \)
verifichiamo la prima condizione, devo fare vedere l'uguaglianza $$\odot (m,n)=\odot(n,m)$$ sappiamo che $$\odot (m,n)=m+n+1 \mbox{ ; } \odot(n,m)=n+m+1$$ partendo da \( \odot(m,n) \), e sapendo che \( + \) è commutativa in \( \Bbb{Z} \) avremo $$ \odot(m,n)=m+n+1=n+m+1 $$ ma esplicitando \(\odot(n,m)\) avremo $$\odot(n,m)=n+m+1$$ e si nota banalmente, per le proprietà dell'uguaglianza, che $$ \odot(m,n)=m+n+1=n+m+1=\odot(n,m) $$ che era quello che volevasi dimostrare
verifichiamo la seconda condizione, devo fare vedere l'uguaglianza $$\odot (\odot(m,n), o)=\odot (m, \odot (n,o))$$ sappiamo che $$\odot (\odot(m,n), o)=\odot(m,n)+o+1=m+n+1+o+1$$ \( + \) è commutativa ergo continuando avremo$$\odot (\odot(m,n), o)=\odot(m,n)+o+1=m+n+1+o+1=m+1+n+o+1$$ esplicitando \( \odot (n,o)\) e \( \odot (m, \odot (n,o)) \) avremo $$ \odot (n,o)=n+o+1 \mbox{ ; } \odot (m, \odot (n,o))=m+\odot(n,o)+1$$ e continuando, sempre per le proprietà dell'uguaglianza e per la commutatività di \( + \), avremo $$\odot (\odot(m,n), o)=\odot(m,n)+o+1=m+n+1+o+1=m+1+n+o+1=m+1+\odot (n,o)=m+\odot (n,o)+1=\odot (m, \odot (n,o))$$ che era quello che volevasi dimostrare
Sei capace di continuare? Ovviamente puoi usare la tua notazione \(m \odot n \) al posto di \( \odot(m,n) \)...
Saluti
grazie della risposta
ho rivisto i miei conti
3) qui verifico l'esistenza dell'elemento neutro
$\exists e \in \mathbb{Z}\: \forall m \in \mathbb{Z} $ $(m\odot e)=(e \odot m)=m$
sapendo che
$(m\odot e) = m + e + 1=m$
e che
$(e\odot m) = e+m+1=m$
per la proprietà commutativa
$(m \odot e) = m+e+1=m=e+m+1=(e\odot m)$ (ma mi viene $e=-1$ che non corrisponde al punto 4))
4) qui verifico l'esistenza degli "elementi inversi" (come dice il mio libro, ma non mi pare molto chiara come nomenclatura)
$\forall m \in \mathbb{Z} \exists m' : (m \odot m') = (m' \odot m) = e$
sapendo che
$(m \odot m') = m +m'+1=e$ (l'inverso additivo per quanto ho capito corrisponde a $m'=-m$ per un gruppo abeliano rispetto alla somma, $m'=1/m$ per i gruppi abeliani rispetto al prodotto (non $\mathbb{Z}$))
pertanto
$m-m+1=e$ quindi $e=1$
invece per
$(m'\odot m) =m'+m+1=e$
quindi
$-m+m+1=e$ ovvero $e=1$
sempre per le proprietà di uguaglianza
$(m\odot m')=1=(m'\odot m)$
c'è qualcosa che non torna
che ho sbagliato?
cmq mi confermi che è non sparo cavolate sul discorso del elemento inverso?
(n.b l'esercizio proposto sul mio libro dice "Mostrare che $\mathbb{Z}$ munito del prodotto... per prodotto indica un'operazione generica leggendo come propone la teoria -> "un gruppo è un'insieme G munito di una funzione[..] che chiameremo prodotto, che soddisfa...)
ho rivisto i miei conti
3) qui verifico l'esistenza dell'elemento neutro
$\exists e \in \mathbb{Z}\: \forall m \in \mathbb{Z} $ $(m\odot e)=(e \odot m)=m$
sapendo che
$(m\odot e) = m + e + 1=m$
e che
$(e\odot m) = e+m+1=m$
per la proprietà commutativa
$(m \odot e) = m+e+1=m=e+m+1=(e\odot m)$ (ma mi viene $e=-1$ che non corrisponde al punto 4))
4) qui verifico l'esistenza degli "elementi inversi" (come dice il mio libro, ma non mi pare molto chiara come nomenclatura)
$\forall m \in \mathbb{Z} \exists m' : (m \odot m') = (m' \odot m) = e$
sapendo che
$(m \odot m') = m +m'+1=e$ (l'inverso additivo per quanto ho capito corrisponde a $m'=-m$ per un gruppo abeliano rispetto alla somma, $m'=1/m$ per i gruppi abeliani rispetto al prodotto (non $\mathbb{Z}$))
pertanto
$m-m+1=e$ quindi $e=1$
invece per
$(m'\odot m) =m'+m+1=e$
quindi
$-m+m+1=e$ ovvero $e=1$
sempre per le proprietà di uguaglianza
$(m\odot m')=1=(m'\odot m)$
c'è qualcosa che non torna
che ho sbagliato?
cmq mi confermi che è non sparo cavolate sul discorso del elemento inverso?
(n.b l'esercizio proposto sul mio libro dice "Mostrare che $\mathbb{Z}$ munito del prodotto... per prodotto indica un'operazione generica leggendo come propone la teoria -> "un gruppo è un'insieme G munito di una funzione[..] che chiameremo prodotto, che soddisfa...)
@mirkobh,
in quale punto non corrisponde? Non capisco!
bhè intanto prima ti veniva \( e =-1 \), ora ti viene \( e =1 \), ma voglio capire a cosa ti riferivi prima!
non saprei, prima voglio capire... e cmq si, per prodotto si riferisce ad un'operazione binaria qualsiasi..
Saluti
"mirkobh":
(ma mi viene $e=-1$ che non corrisponde al punto 4))
in quale punto non corrisponde? Non capisco!
"mirkobh":
4) qui verifico l'esistenza degli "elementi inversi" (come dice il mio libro, ma non mi pare molto chiara come nomenclatura)
$\forall m \in \mathbb{Z} \exists m' : (m \odot m') = (m' \odot m) = e$
sapendo che
$(m \odot m') = m +m'+1=e$ (l'inverso additivo per quanto ho capito corrisponde a $m'=-m$ per un gruppo abeliano rispetto alla somma, $m'=1/m$ per i gruppi abeliani rispetto al prodotto (non $\mathbb{Z}$))
pertanto
$m-m+1=e$ quindi $e=1$
invece per
$(m'\odot m) =m'+m+1=e$
quindi
$-m+m+1=e$ ovvero $e=1$
sempre per le proprietà di uguaglianza
$(m\odot m')=1=(m'\odot m)$
c'è qualcosa che non torna
che ho sbagliato?
bhè intanto prima ti veniva \( e =-1 \), ora ti viene \( e =1 \), ma voglio capire a cosa ti riferivi prima!
"mirkobh":
cmq mi confermi che è non sparo cavolate sul discorso del elemento inverso?
(n.b l'esercizio proposto sul mio libro dice "Mostrare che $\mathbb{Z}$ munito del prodotto... per prodotto indica un'operazione generica leggendo come propone la teoria -> "un gruppo è un'insieme G munito di una funzione[..] che chiameremo prodotto, che soddisfa...)
non saprei, prima voglio capire... e cmq si, per prodotto si riferisce ad un'operazione binaria qualsiasi..
Saluti
ho supposto che i valori delle due $e$ (che si ottengono nel procedimento di verifica dell'esistenza dell'el. neutro e dalla verifica dell'esistenza degli el. inversi) debbano essere uguali, ho sbagliato? Cioè è sempre della stessa $e$ che si parla?
infatti se tu calcoli nel punto 3) $m=e+m+1$, $m$ si annulla e rimane solo $e=-1$
3) qui verifico l'esistenza dell'elemento neutro
$\exists e \in \mathbb{Z}\: \forall m \in \mathbb{Z} $ $(m\odot e)=(e \odot m)=m$
sapendo che[...]
$(m \odot e) = m+e+1=m=e+m+1=(e\odot m)$ (ma mi viene $e=-1$ che non corrisponde al punto 4))
4) qui verifico l'esistenza degli "elementi inversi" (come dice il mio libro, ma non mi pare molto chiara come nomenclatura)
$\forall m \in \mathbb{Z} \exists m' : (m \odot m') = (m' \odot m) = e$
sapendo che[...]
$m-m+1=e$ quindi $e=1$
infatti se tu calcoli nel punto 3) $m=e+m+1$, $m$ si annulla e rimane solo $e=-1$
Tu sai che l'elemento neutro per $\odot$ è il numero $-1$ di $\mathbb{Z}$. Quindi, dato $m \in \mathbb{Z}$, devi trovare $m'$ tale che $m \odot m' = m' \odot m = -1$. Tu hai provato con $m' = -m$, però non funziona; infatti ti viene $m \odot m' = 1$ e non $-1$. Bisogna quindi imporre $m \odot m' = -1$, sviluppare e risolvere in $m'$. Una volta che hai trovato come è fatto $m'$ in funzione di $m$, puoi dimostrare che esso è effettivamente l'inverso.
ciao!
non avevo capito quale passaggio avevo sbagliato, comunque ho rifatto i conti
$\forall m \in \mathbb{Z}$ $ \exists m' : (m \odot m')=(m' \odot m) = e = -1$
$(m \odot m') = -1$
$m+ m,'+1=-1$
$m'=-2-m$
e poi
$(m' \odot m)=-1$
$m'+m+1=-1$
$m'=-2-m$
i risultati equivalgono, pertanto
$(m\odot m')=-2-m=m'=-2-m=(m'\odot m)$
verifico per scrupolo $(m\odot m')=e$
$m+m'+1=-1$
$m-2-m+1=-1$
$0=0$ identità
non so se fosse necessario quest'ultimo pezzo, ma nonostante si "veda", ho preferito abbondare
mi interesserebbe sapere se l'approccio che ho utilizzato sia sufficientemente rigoroso oppure no.
grazie garnak.olegovitc e Pappappero!
non avevo capito quale passaggio avevo sbagliato, comunque ho rifatto i conti
$\forall m \in \mathbb{Z}$ $ \exists m' : (m \odot m')=(m' \odot m) = e = -1$
$(m \odot m') = -1$
$m+ m,'+1=-1$
$m'=-2-m$
e poi
$(m' \odot m)=-1$
$m'+m+1=-1$
$m'=-2-m$
i risultati equivalgono, pertanto
$(m\odot m')=-2-m=m'=-2-m=(m'\odot m)$
verifico per scrupolo $(m\odot m')=e$
$m+m'+1=-1$
$m-2-m+1=-1$
$0=0$ identità
non so se fosse necessario quest'ultimo pezzo, ma nonostante si "veda", ho preferito abbondare
mi interesserebbe sapere se l'approccio che ho utilizzato sia sufficientemente rigoroso oppure no.
grazie garnak.olegovitc e Pappappero!
@mirkobh,
usando la tua scrittura, così almeno alterniamo, devo dimostrare:
\( \exists r \in \Bbb{Z}( \forall x \in \Bbb{Z}(x \odot r=r \odot x= x ))\)
\( \forall x \in \Bbb{Z}(\exists t \in \Bbb{Z}(t \odot x=x \odot t=r))\)
come si procede in questi casi? Semplicemente prendendo un \( r \in \Bbb{Z} \) dobbiamo vedere se \( r \) è elemento neutro rispetto ad \( \odot \), e quindi se $$ x \odot r=x+r+1=r$$ ma siamo in \( \Bbb{Z} \) ergo $$ x \odot r=x+r+1=x \to r+1=0$$ ovvero \( r\) è il simmetrico additivo di \( 1 \) e quindi $$ x \odot r=x+r+1=x \to r+1=0 \to r=-1$$ confermando così \( r \in \Bbb{Z} \), e basta una verifica diretta per vedere che $$ x \odot -1=x-1+1=x $$ ed avendo dimostrato prima che \( \odot \) è commutativa avremo anche $$ -1 \odot x=x \odot -1=x $$ Dobbiamo adesso vedere se esiste un simmetrico in \( \Bbb{Z} \), per ogni elemento di \( \Bbb{Z} \), rispetto ad \( \odot \) ovvero, avendo \(r=-1 \) e preso un \( t \in \Bbb{Z} \), fissiamo la seguente $$t \odot x=t+x+1=r=-1 \to t+x=-2 \to t=-x-2$$ confermando così \( t \in \Bbb{Z} \), e basta una verifica diretta per vedere che $$ t \odot x=-x-2+x+1=-2+1=-1=r$$ ed avendo dimostrato prima che \( \odot \) è commutativa avremo anche $$ t \odot x=x \odot t=r $$
Saluti
"mirkobh":
ciao!
non avevo capito quale passaggio avevo sbagliato, comunque ho rifatto i conti
$\forall m \in \mathbb{Z}$ $ \exists m' : (m \odot m')=(m' \odot m) = e = -1$
$(m \odot m') = -1$
$m+ m,'+1=-1$
$m'=-2-m$
e poi
$(m' \odot m)=-1$
$m'+m+1=-1$
$m'=-2-m$
i risultati equivalgono, pertanto
$(m\odot m')=-2-m=m'=-2-m=(m'\odot m)$
verifico per scrupolo $(m\odot m')=e$
$m+m'+1=-1$
$m-2-m+1=-1$
$0=0$ identità
non so se fosse necessario quest'ultimo pezzo, ma nonostante si "veda", ho preferito abbondare
mi interesserebbe sapere se l'approccio che ho utilizzato sia sufficientemente rigoroso oppure no.
grazie garnak.olegovitc e Pappappero!
usando la tua scrittura, così almeno alterniamo, devo dimostrare:
\( \exists r \in \Bbb{Z}( \forall x \in \Bbb{Z}(x \odot r=r \odot x= x ))\)
\( \forall x \in \Bbb{Z}(\exists t \in \Bbb{Z}(t \odot x=x \odot t=r))\)
come si procede in questi casi? Semplicemente prendendo un \( r \in \Bbb{Z} \) dobbiamo vedere se \( r \) è elemento neutro rispetto ad \( \odot \), e quindi se $$ x \odot r=x+r+1=r$$ ma siamo in \( \Bbb{Z} \) ergo $$ x \odot r=x+r+1=x \to r+1=0$$ ovvero \( r\) è il simmetrico additivo di \( 1 \) e quindi $$ x \odot r=x+r+1=x \to r+1=0 \to r=-1$$ confermando così \( r \in \Bbb{Z} \), e basta una verifica diretta per vedere che $$ x \odot -1=x-1+1=x $$ ed avendo dimostrato prima che \( \odot \) è commutativa avremo anche $$ -1 \odot x=x \odot -1=x $$ Dobbiamo adesso vedere se esiste un simmetrico in \( \Bbb{Z} \), per ogni elemento di \( \Bbb{Z} \), rispetto ad \( \odot \) ovvero, avendo \(r=-1 \) e preso un \( t \in \Bbb{Z} \), fissiamo la seguente $$t \odot x=t+x+1=r=-1 \to t+x=-2 \to t=-x-2$$ confermando così \( t \in \Bbb{Z} \), e basta una verifica diretta per vedere che $$ t \odot x=-x-2+x+1=-2+1=-1=r$$ ed avendo dimostrato prima che \( \odot \) è commutativa avremo anche $$ t \odot x=x \odot t=r $$
Saluti
ottimo, ho capito
grazie mille!
grazie mille!
@mirkobh,
di nulla!
Saluti
"mirkobh":
ottimo, ho capito
grazie mille!
di nulla!
Saluti
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