Strane disuguaglianze?
Salve a tutti,
queste formule vi risultano note? banali? ignote? strane? stupefacenti? vere? false?
$a,b,c,d,...\in CC$.
Allora
$a^2+b^2\le(|a|+|b|)^2$
$a^2+b^2+c^2\le(|a|+|b|+|c|)^2$
eccetera...
più in generale:
se$a=(a_n)\in l^1$, allora $(a_n)\in l^2$ e risulta $||a||_{l^2}\le||a||_{l^1}$
queste formule vi risultano note? banali? ignote? strane? stupefacenti? vere? false?
$a,b,c,d,...\in CC$.
Allora
$a^2+b^2\le(|a|+|b|)^2$
$a^2+b^2+c^2\le(|a|+|b|+|c|)^2$
eccetera...
più in generale:
se$a=(a_n)\in l^1$, allora $(a_n)\in l^2$ e risulta $||a||_{l^2}\le||a||_{l^1}$
Risposte
la relazione $<=$ usuale non è definita sui complessi quindi cose del tipo $a^2+b^2<=(|a|+|b|)^2$ non mi pare abbiano senso.
se fosse $|a|^2+|b|^2<=(|a|+|b|)^2$ sarebbe sensato e banalmente verificato in quanto $(|a|+|b|)^2=|a|^2+|b|^2+2|ab|$
in genere la norma $|*|_1$ è la somma dei moduli delle componenti (non dei quadrati) mentre la norma $|*|_2$ è la radice quadrata della somma dei quadrati. Di più non so dirti.
se fosse $|a|^2+|b|^2<=(|a|+|b|)^2$ sarebbe sensato e banalmente verificato in quanto $(|a|+|b|)^2=|a|^2+|b|^2+2|ab|$
in genere la norma $|*|_1$ è la somma dei moduli delle componenti (non dei quadrati) mentre la norma $|*|_2$ è la radice quadrata della somma dei quadrati. Di più non so dirti.
"rubik":
la relazione $<=$ usuale non è definita sui complessi quindi cose del tipo $a^2+b^2<=(|a|+|b|)^2$ non mi pare abbiano senso.
hai ragione... la volevo mettere in $\RR$ e poi ci ho ripensato e mi so dimenticato di mettere i moduli.
"rubik":
se fosse $|a|^2+|b|^2<=(|a|+|b|)^2$ sarebbe sensato e banalmente verificato in quanto $(|a|+|b|)^2=|a|^2+|b|^2+2|ab|$
ok questa è evidente e forse si generalizza facilmente ad un numero finito di addendi
"rubik":
in genere la norma $|*|_1$ è la somma dei moduli delle componenti (non dei quadrati) mentre la norma $|*|_2$ è la radice quadrata della somma dei quadrati. Di più non so dirti.
prova a portare la radice di là!
P.s. comunque la formula è ultranota, anche se forse dimostrazioni proprio banalissime non ci stanno
"ubermensch":
[/quote]prova a portare la radice di là!
hai ragione, mea culpa!
forse si può fare così: $sum_{k=0}^(+oo) |a_k|* sum_{h=0}^(+oo) |a_h|=sum_{n=0}^(+oo)\quad [sum_{h+k=n} |a_k|*|a_h|]$ (questo è vero perchè nelle serie a termini positivi non importa l'ordine in cui sommiamo) in quella serie si vede che compare la serie $sum |a_k|^2$ quando $h=k$ e si hanno però anche altri termini quindi $(sum |a_k|)^2>=sum |a_k|^2$
convincente?
Non ho esaminato a fondo i messaggi precedenti, per cui mi scuso se rifaccio calcoli gia' fatti.
Per vedere che $||a_n||_2\leq||a_n||_1$ si puo' fare cosi: intanto
$|a_k|\leq\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ per ogni $k$
da cui
$||a_n||_2^2=\sum_{k=1}^\infty|a_k|^2\leq\sum_{k=1}^\infty|a_k|(\sum_{n=1^\infty}|a_n|)=||an||_1^2$
da cui la tesi
PS. Questa dim. me l'ero fatta circa un mese fa (popo averci pensato un po') in una risposta a rubik, in un altro thead.
EDIT Ho riletto meglio i messaggi precedenti e in effetti quello che ho fatto e' piu' o meno l'argomento di rubik.
Comunque facendo come sopra si puo' dimostrare che
$||a_n||_{p_1}\leq||a_n||_{p_2}$ se $1\leq p_2\leq p_1\leq\infty$
Per vedere che $||a_n||_2\leq||a_n||_1$ si puo' fare cosi: intanto
$|a_k|\leq\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ per ogni $k$
da cui
$||a_n||_2^2=\sum_{k=1}^\infty|a_k|^2\leq\sum_{k=1}^\infty|a_k|(\sum_{n=1^\infty}|a_n|)=||an||_1^2$
da cui la tesi
PS. Questa dim. me l'ero fatta circa un mese fa (popo averci pensato un po') in una risposta a rubik, in un altro thead.
EDIT Ho riletto meglio i messaggi precedenti e in effetti quello che ho fatto e' piu' o meno l'argomento di rubik.
Comunque facendo come sopra si puo' dimostrare che
$||a_n||_{p_1}\leq||a_n||_{p_2}$ se $1\leq p_2\leq p_1\leq\infty$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo