Stabilizzatori di elementi di una stessa orbita
Considerando l'azione di un gruppo $(G,\cdot)$ su un insieme $X$, $\mu: G\times X\rightarrow X$, $\mu(g,x)=gx$, lo stabilizzatore di un elemento $x\in X$ è così definito:
St_G(x)=$\{g\in G| gx=x\}$, mentre l'orbita di $x \in X$ è $[x]_G=\{ gx|g\in G\}$.
Si ha che le orbite costituiscono una partizione di X, infatti su X si può definire la relazione d'equivalenza: $\forall x,y\in X$ $x \sim y$ sse $\exists g\in G|y=gx$.
Ecco la mia domanda:
Mi chiedo se elementi appartenenti alla stessa orbita abbiano tutti lo stesso stabilizzatore o lo stabilizzatore(che tra l'altro è un sottogruppo di G) varia al variare dell'elemento che "stabilizza".
So che più in generale si ha: $\bigcap_{x \in X} St_G(x)=Ker(\rho)=\{g\in G|gx=x, \forall x\in X\}$, dove $\rho: G\rightarrow X^X$, $\ro(g)=gx$ è la rappresentazione associata all'azione $\mu$.
St_G(x)=$\{g\in G| gx=x\}$, mentre l'orbita di $x \in X$ è $[x]_G=\{ gx|g\in G\}$.
Si ha che le orbite costituiscono una partizione di X, infatti su X si può definire la relazione d'equivalenza: $\forall x,y\in X$ $x \sim y$ sse $\exists g\in G|y=gx$.
Ecco la mia domanda:
Mi chiedo se elementi appartenenti alla stessa orbita abbiano tutti lo stesso stabilizzatore o lo stabilizzatore(che tra l'altro è un sottogruppo di G) varia al variare dell'elemento che "stabilizza".
So che più in generale si ha: $\bigcap_{x \in X} St_G(x)=Ker(\rho)=\{g\in G|gx=x, \forall x\in X\}$, dove $\rho: G\rightarrow X^X$, $\ro(g)=gx$ è la rappresentazione associata all'azione $\mu$.
Risposte
Sicuramente hanno la stessa cardinalità i due stabilizzatori, ma cambiano gli elementi.
Considera in $S_5$ gli elementi $(12),(13)$ e l'azione per coniugio. I due elementi son coniugati, ma gli stabilizzatori non sono uguali. Infatti il secondo è stabilizzato tra gli altri da $(245)$ che non stabilizza $(12)$.
Considera in $S_5$ gli elementi $(12),(13)$ e l'azione per coniugio. I due elementi son coniugati, ma gli stabilizzatori non sono uguali. Infatti il secondo è stabilizzato tra gli altri da $(245)$ che non stabilizza $(12)$.
non mi sembra che $(245)$ stabilizzi $(13)$, semmai commuta con $(13)$...
e nemmeno mi pare che $(12),(13)$ siano coniugati, se per coniugati si intende che $(12)(13)(12)^{-1}=(13)$
Aram, io credo che debba leggere meglio i post che ti scrivono oppure studiare un po' meglio 
L'azione è quella per coniugio, quindi $(245) * (13)=(245)(13)(245)^(-1)$.
Inoltre in $S_n$ i cicli della stessa lunghezza son coniugati. C'è un importante teorema che lo dice. Ovviamente due cicli son coniugati se esiste un elemento $g in S_n$ tale che $g(13)g^(-1)=(12)$.
L'azione è quella per coniugio, quindi $(245) * (13)=(245)(13)(245)^(-1)$.
Inoltre in $S_n$ i cicli della stessa lunghezza son coniugati. C'è un importante teorema che lo dice. Ovviamente due cicli son coniugati se esiste un elemento $g in S_n$ tale che $g(13)g^(-1)=(12)$.
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