Stabilire se una proposizione è vera
Ciao ragazzi, che strategia devo adoperare per stabilire se le seguenti proposizioni sono Vere o False?
a) (A × B) = (B × A) se e solo se A = B
b) se A ∩ B = B allora A = B
c) se A ∪ B = B allora A = B
d) se A ∪ B = B e A ∩ B = B allora A = B
a) (A × B) = (B × A) se e solo se A = B
b) se A ∩ B = B allora A = B
c) se A ∪ B = B allora A = B
d) se A ∪ B = B e A ∩ B = B allora A = B
Risposte
Se secondo te la proposizione è vera allora devi scrivere una dimostrazione.
Se, invece, pensi che sia falsa basta esibire un controesempio.
Se, invece, pensi che sia falsa basta esibire un controesempio.
Potresti farmi un esempio? 
Up!
Inviato dal mio LG-D855 utilizzando Tapatalk
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Un esempio di dimostrazione basta aprire un qualsiasi manuale di algebra nella parte sulla teoria degli insiemi e dare un occhio alle dimostrazioni fatte come esempio.
Bisogna partire dalle ipotesi e cercare di tradurle sfruttando le definizioni e mediante dei passaggi che utilizzano le varie proprietà introdotte nella teoria si cerca di arrivare a scrivere la tesi (detto malissimo).
Guarda ad esempio la dimostrazione di $A\cup B=B\cup A$ al seguente link: https://it.wikipedia.org/wiki/Unione_(insiemistica)
Posso caso mai dirti che ad esempio per me la c) è falsa.
Come controesempio basta prendere due sottoinsiemi dei naturali come $ A={0,1}$ e $ B={0,1,2} $ e osservare che $ A\cupB=B $ ma $ A\ne B $.
Per la b) puoi incominciare a farti qualche esempio per capire come funziona e magari prendere spunto dal controesempio che ti ho appena citato.
Per la d) prova a scriverti le definizioni di unione e intersezione e fare qualche ragionamento. Se $A\cup B=B$ vorrà dire che ogni elemento che sta nell'unione sta anche in B, in particolare ogni elemento che sta in A starà anche in B e con questo hai dimostrato che $A\subset B$.
Per ottenere l'uguaglianza basta dimostrare che $B\subset A$ e questo è vero perché dall'altra ipotesi sull'intersezione sai che ogni elemento di B sta nell'intersezione di A e B, ossia sta sia in A che in B, in particolare sta in A.
Avendo dimostrato la doppia inclusione tra A e B, puoi concludere che $A=B$.....quindi in definitiva è una prop vera.
Tutto quello che ho detto va scritto con il linguaggio matematico "definito" nella teoria degli insiemi.
La a) prova a fartela usando al definizione di prodotto cartesiano $A\timesB$ e cercando di arrivare a dimostrare la doppia inclusione tra $A$ e $B$.
NB: credo che non sia bello sollecitare la gente scrivendo "UP"!...
Bisogna partire dalle ipotesi e cercare di tradurle sfruttando le definizioni e mediante dei passaggi che utilizzano le varie proprietà introdotte nella teoria si cerca di arrivare a scrivere la tesi (detto malissimo).
Guarda ad esempio la dimostrazione di $A\cup B=B\cup A$ al seguente link: https://it.wikipedia.org/wiki/Unione_(insiemistica)
Posso caso mai dirti che ad esempio per me la c) è falsa.
Come controesempio basta prendere due sottoinsiemi dei naturali come $ A={0,1}$ e $ B={0,1,2} $ e osservare che $ A\cupB=B $ ma $ A\ne B $.
Per la b) puoi incominciare a farti qualche esempio per capire come funziona e magari prendere spunto dal controesempio che ti ho appena citato.
Per la d) prova a scriverti le definizioni di unione e intersezione e fare qualche ragionamento. Se $A\cup B=B$ vorrà dire che ogni elemento che sta nell'unione sta anche in B, in particolare ogni elemento che sta in A starà anche in B e con questo hai dimostrato che $A\subset B$.
Per ottenere l'uguaglianza basta dimostrare che $B\subset A$ e questo è vero perché dall'altra ipotesi sull'intersezione sai che ogni elemento di B sta nell'intersezione di A e B, ossia sta sia in A che in B, in particolare sta in A.
Avendo dimostrato la doppia inclusione tra A e B, puoi concludere che $A=B$.....quindi in definitiva è una prop vera.
Tutto quello che ho detto va scritto con il linguaggio matematico "definito" nella teoria degli insiemi.
La a) prova a fartela usando al definizione di prodotto cartesiano $A\timesB$ e cercando di arrivare a dimostrare la doppia inclusione tra $A$ e $B$.
NB: credo che non sia bello sollecitare la gente scrivendo "UP"!...
Ciao grazie per la riposta e scusa per l'up, in altri forum si usava spesso.
Volevo chiederti se seguendo questo "metodo" devo anche tener conto delle tabelle di verità dell'implicazione, doppia implicazione, congiunzione ecc
Volevo chiederti se seguendo questo "metodo" devo anche tener conto delle tabelle di verità dell'implicazione, doppia implicazione, congiunzione ecc
No non tenere conto delle tabelle di verità. Tieni conto solo delle definizioni (quella di inclusione, intersezione, unione, prodotto cartesiano).
Se hai problemi, riscrivi pure!
Se hai problemi, riscrivi pure!
Allora partiamo dalle basi, perchè non ho mai fatto una dimostrazione matematica per bene xD
Quindi partiamo da: (che credo sia la dimostrazione che intendevi)
$ x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B \cup A $
Allora dovrei innanzitutto assumere come Ipotesi il fatto che $ A \cup B = B \cup A $ sia vero.
Adesso dovrei scrivere la mia Tesi che partendo da $ A \cup B $ mi faccia ottenere $ B \cup A $. Fino a qui è giusto?
- Passaggio 1: Affermo che esiste un generico elemento x che appartiene all'insieme $ A \cup B $
- Passaggio 2: Affermo che questo elemento si può trovare nell'insieme A di partenza, e/o in quello B.
- Passaggio 3: Affermo quindi la stessa cosa, ma scambiandone "i posti". Credo che questo passaggio sia giustificato dal fatto che la disgiunzione logica gode della proprietà commutativa.
- Passaggio 4: Affermo quindi che se un elemento si può trovare in B e/o in A, allora esso si troverà anche nell'insieme $ B \cup A $.
Seguendo questo ragionamento innanzitutto non capisco con quale criterio dovrei scegliere se usare nella mia dimostrazione una implicazione o una doppia implicazione.
Edit: Quindi per risparmiare tempo evitando di dimostrare tutto, la strategia migliore è quella di cercare subito un esempio veloce che mi dica che "la proposizione non è sempre valida" e quindi è FALSA. Se non lo trovo, allora probabilmente la proposizione è VERA, però è possibile che ci siano casi che mi sono sfuggiti (magari perchè casi limiti oppure perchè la proposizione è abbastanza complessa) e quindi procedendo con la dimostrazione, se riesco a completarla è VERA, altrimenti è FALSA?
Edit 2: Nel tuo controesempio di "c) se A ∪ B = B allora A = B ":
Hai cercato di dire che è possibile che $ A \cup B = B$ anche se non è vero che $ A = B $
Però io da ignorante (senza tavole della verità) devo dare una interpretazione a questo "se..allora.." altrimenti potrei ragionare all'inverso e dire: è possibile che $ A = B $ se non è vero che $ A \cup B = B$?
E questo "ragionamento al contrario" vale lo stesso o no? Sempre? E se c'è doppia implicazione?
Grazie
Quindi partiamo da: (che credo sia la dimostrazione che intendevi)
$ x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B \cup A $
Allora dovrei innanzitutto assumere come Ipotesi il fatto che $ A \cup B = B \cup A $ sia vero.
Adesso dovrei scrivere la mia Tesi che partendo da $ A \cup B $ mi faccia ottenere $ B \cup A $. Fino a qui è giusto?
- Passaggio 1: Affermo che esiste un generico elemento x che appartiene all'insieme $ A \cup B $
- Passaggio 2: Affermo che questo elemento si può trovare nell'insieme A di partenza, e/o in quello B.
- Passaggio 3: Affermo quindi la stessa cosa, ma scambiandone "i posti". Credo che questo passaggio sia giustificato dal fatto che la disgiunzione logica gode della proprietà commutativa.
- Passaggio 4: Affermo quindi che se un elemento si può trovare in B e/o in A, allora esso si troverà anche nell'insieme $ B \cup A $.
Seguendo questo ragionamento innanzitutto non capisco con quale criterio dovrei scegliere se usare nella mia dimostrazione una implicazione o una doppia implicazione.
Edit: Quindi per risparmiare tempo evitando di dimostrare tutto, la strategia migliore è quella di cercare subito un esempio veloce che mi dica che "la proposizione non è sempre valida" e quindi è FALSA. Se non lo trovo, allora probabilmente la proposizione è VERA, però è possibile che ci siano casi che mi sono sfuggiti (magari perchè casi limiti oppure perchè la proposizione è abbastanza complessa) e quindi procedendo con la dimostrazione, se riesco a completarla è VERA, altrimenti è FALSA?
Edit 2: Nel tuo controesempio di "c) se A ∪ B = B allora A = B ":
"Davi90":
Posso caso mai dirti che ad esempio per me la c) è falsa.
Come controesempio basta prendere due sottoinsiemi dei naturali come $ A={0,1}$ e $ B={0,1,2} $ e osservare che $ A\cupB=B $ ma $ A\ne B $.
Hai cercato di dire che è possibile che $ A \cup B = B$ anche se non è vero che $ A = B $
Però io da ignorante (senza tavole della verità) devo dare una interpretazione a questo "se..allora.." altrimenti potrei ragionare all'inverso e dire: è possibile che $ A = B $ se non è vero che $ A \cup B = B$?
E questo "ragionamento al contrario" vale lo stesso o no? Sempre? E se c'è doppia implicazione?
Grazie
Ciao, mi sono riguardato un pò di cose come Condizioni Necessarie, Sufficenti e NeS; insieme vuoto ecc ecc
Per ora credo di aver risolto considerando i casi limite e saltando le dimostrazioni.
Ovvero considero un esercizio qualunque, se non trovo nessun controcaso che mi faccia valere Falsa la proposizione (ANCHE CONSIDERANDO I CASI LIMITE INSIEME VUOTO E INFINITO); allora do per scontato che sia VERA senza procedere alla dimostrazione. (Che mi porterebbe via ahimè troppo tempo).
Se vuoi comunque farmi chiarezza sui punti riguardanti le dimostrazioni ben venga Grazie di tutto!
Per ora credo di aver risolto considerando i casi limite e saltando le dimostrazioni.
Ovvero considero un esercizio qualunque, se non trovo nessun controcaso che mi faccia valere Falsa la proposizione (ANCHE CONSIDERANDO I CASI LIMITE INSIEME VUOTO E INFINITO); allora do per scontato che sia VERA senza procedere alla dimostrazione. (Che mi porterebbe via ahimè troppo tempo).
Se vuoi comunque farmi chiarezza sui punti riguardanti le dimostrazioni ben venga
Grazie di tutto!
Ho problemi con questo esercizio: devo stabilire se questa proposizione è vera o falsa.
$ (A×B)≠(B×A) $ se e solo se $A≠B $
La risposta dovrebbe essere Falsa, ma a me viene Vera.
Procedo cosi:
- Do un nome alle due proposizioni, ad esempio $P = (A×B)≠(B×A) $ e $Q = A≠B $
- Per stabilire se la proposizione iniziale è falsa devo trovare un controcaso in cui se una delle due è VERA, devo trovare che l'altra è FALSA.
- Stabilisco ad esempio che voglio trovare un caso in cui P sia vero per la negata di Q, ovvero: $ (A×B)≠(B×A) $ se e solo se $A=B $.
Il problema è che non trovo nessun caso in cui ciò è vero, neanche considerando l'insieme vuoto.
Quindi mi verrebbe da dire che è VERA. Cosa mi sfugge?
$ (A×B)≠(B×A) $ se e solo se $A≠B $
La risposta dovrebbe essere Falsa, ma a me viene Vera.
Procedo cosi:
- Do un nome alle due proposizioni, ad esempio $P = (A×B)≠(B×A) $ e $Q = A≠B $
- Per stabilire se la proposizione iniziale è falsa devo trovare un controcaso in cui se una delle due è VERA, devo trovare che l'altra è FALSA.
- Stabilisco ad esempio che voglio trovare un caso in cui P sia vero per la negata di Q, ovvero: $ (A×B)≠(B×A) $ se e solo se $A=B $.
Il problema è che non trovo nessun caso in cui ciò è vero, neanche considerando l'insieme vuoto.
Quindi mi verrebbe da dire che è VERA. Cosa mi sfugge?
Risolto con il caso: A = elemento B = vuoto
Non avevo considerato che "il prodotto cartesiano di un qualunque insieme A con l'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
Non avevo considerato che "il prodotto cartesiano di un qualunque insieme A con l'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
Ti rispondo per gradi.
I vari passaggi sono giusto nella dimostrazione di $A\cup B=B\cup A$.
Ovviamente sono tutte doppie implicazioni perché quello che hai utilizzato sono definizioni e una semplice inversione di scrittura. Il "se e solo se" è usato per dire che una proposizione "è equivalente" ad un'altra.
Nell'EDIT 2 io non affermo quello. Quello che si intende è che se sai che vale l'ipotesi $A\cup B=B$ non puoi concludere che è sempre vero che $A=B$. Basta vedere il controesempio.
Riferendomi all'ultimo messaggio:
Se dimostri invece la veridicità del punto a) nel primo messaggio allora puoi affermare che vale anche la sua negazione ossia $(A\times B)\ne (B\times A)\iff A\ne B$.
I vari passaggi sono giusto nella dimostrazione di $A\cup B=B\cup A$.
Ovviamente sono tutte doppie implicazioni perché quello che hai utilizzato sono definizioni e una semplice inversione di scrittura. Il "se e solo se" è usato per dire che una proposizione "è equivalente" ad un'altra.
Nell'EDIT 2 io non affermo quello. Quello che si intende è che se sai che vale l'ipotesi $A\cup B=B$ non puoi concludere che è sempre vero che $A=B$. Basta vedere il controesempio.
Riferendomi all'ultimo messaggio:
Se dimostri invece la veridicità del punto a) nel primo messaggio allora puoi affermare che vale anche la sua negazione ossia $(A\times B)\ne (B\times A)\iff A\ne B$.
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