Spiegazione sugli insieme

[simo9115]

salve a tutti, ho dato un esame ieri e praticamente c'è un esercizio che nn ho capito bene quindi mi sono fatto mandare la correzione solo che continuo ancora a nn capire...c'è qualcuno che sa spiegarmelo?? eccolo qui con tanto di correzione:

Per ogni coppia di insiemi A,B ⊆ X, l’insieme S = {A ∩ B,A − B,B − A,CX(A ∪ B)} `e una partizione di X? Trovare esplicitamente gli insiemi D, E e F in modo tale che essi costituiscano una partizione di Z insieme dei numeri interi.

Per definizione l’insieme S forma una partizione di X se e solo se i suoi elementi sono sottoinsiemi a due a due disgiunti di X e la loro unione `e proprio X. Infatti, {A ∩ B,A − B,B − A} `e una partizione di A ∪ B e quindi i tre insiemi A ∩ B, A − B e B − A sono a due a due disgiunti e la loro unione `e proprio A∪B. D’altra parte, A∩B, A−B e B −A sono anche disgiunti dal complementare Cx(A ∪ B), essendo contenuti in A ∪ B. Inoltre, tenendo conto della propriet`a associative dell’unione e della definzione di complementare, si ha (A∩B)∪(A−B)∪(B−A)∪CX(A∪B) = ((A∩B)∪(A−B)∪(B−A))∪CX(A∪B) = (A ∪ B) ∪ CX(A ∪ B) = X. Esempi di partizione di Z insieme dei numeri interi sono D = {x ∈ Z | x < 0}, E = {0} e F = {x ∈ Z | x > 0}, oppure D = {3x | x ∈ Z}, E = {3x+1 | x ∈ Z} e F = {3x+2 | x ∈ Z} (classi di resto modulo 3), ...

[simo9115]

vi prego ragazzi aiutatemi domani ho un esame e questa sarà una possibile domanda....