Spiegazione Omomorfismo
Salve a tutti. Questo è il mio primo post quindi se faccio errori nel compilarlo lamentatevi pure! 
Io so che date due strutture algebriche (A, °) e (B, *), dove ° e * sono due qualsiasi operazioni, una applicazione f:A----->B è un omomorfismo della struttura (A, °) nella struttura (B, *) se: f(a°b)=f(a)*f(b) dove a e b sono elementi rispettivamente di A e di B.
E fin qui non ci dovrebbe piovere.
Ora studiando i numeri complessi, quindi avendo il campo (R^2, +, *) dove + è l'addizione e * la moltiplicazione, e avendo i campi (R^2,+)=C1 e (R^2,*)=C2, un omorfismo di C1 in C2 sul libro viene indicato come una f:C1---->C2 tale che:
f(x+y) = f(x) + f(y)
e
f(x*y) = f(x) * f(y)
dove x e y sono due elementi di C1
Ma un omomorfismo di C1 in C2 non dovrebbe essere. come da definizione, una f:C1---->C2 tale che:
f(x+y) = f(x ) * f(y)
Dov'è che sbaglio??
Io so che date due strutture algebriche (A, °) e (B, *), dove ° e * sono due qualsiasi operazioni, una applicazione f:A----->B è un omomorfismo della struttura (A, °) nella struttura (B, *) se: f(a°b)=f(a)*f(b) dove a e b sono elementi rispettivamente di A e di B.
E fin qui non ci dovrebbe piovere.
Ora studiando i numeri complessi, quindi avendo il campo (R^2, +, *) dove + è l'addizione e * la moltiplicazione, e avendo i campi (R^2,+)=C1 e (R^2,*)=C2, un omorfismo di C1 in C2 sul libro viene indicato come una f:C1---->C2 tale che:
f(x+y) = f(x) + f(y)
e
f(x*y) = f(x) * f(y)
dove x e y sono due elementi di C1
Ma un omomorfismo di C1 in C2 non dovrebbe essere. come da definizione, una f:C1---->C2 tale che:
f(x+y) = f(x ) * f(y)
Dov'è che sbaglio??
Risposte
1)Secondo me dire che $(RR^2,+)=C_1$ e $(RR^2,*)=C_2$ sono campi è una grandissima scemenza (Scusa la franchezza).
2)Dovresti leggere un pò il regolamento e vedere come si scrivono le formule matematiche tramite i codici.
3)Un pò di teoria non fa mai male...hai mai studiato le basi dell'algebra lineare?! tipo gli omomorfismi di anelli?!
2)Dovresti leggere un pò il regolamento e vedere come si scrivono le formule matematiche tramite i codici.
3)Un pò di teoria non fa mai male...hai mai studiato le basi dell'algebra lineare?! tipo gli omomorfismi di anelli?!
?!!?!?!?
Come giustamente osservava Lorin , $(RR^2,+)$ e $(RR^2,*) $ non sono campi!!! Non sono neanche anelli.
Il primo è un gruppo, l'altro non è un gruppo.
Se consideri$(U(RR^2),*)$ è un gruppo moltiplicativo. (forse, dipende sempre chi è $*$ !!!!!)
Ma mi sorge un dubbio, chi sono $+,*$? ci sono almeno due modi per dare una struttura di anello $RR^2$ , una in particolare di Campo.
Ti consiglio vivamente di vedere qui
Ora, ti pregherei ad una riflessione.
Allora, supponiamo di avere
1)$f : A -> A' $ isomorfismo di anelli, cosa vuol dire concettualmente che $A$ e $A'$ sono isomorfi?
2)e se ho $g : B -> B'$ omomorfismo di anelli, cosa vuol dire concettualmente che c'è un omomorfismo di anelli tra $B$ e $B'$?
3) esaminiamo un caso concreto
supponi di avere $A=ZZ$ , $B=2ZZ$ (insieme dei pari) . Sia $A$ che $B$ sono anelli mediante le operazioni canoniche che conosciamo.
Mi sai dire se
$h : A -> B $ definita ponendo $AA x in A : f(X)=2x$ è un omomorfismo di anelli oppure no?
Come giustamente osservava Lorin , $(RR^2,+)$ e $(RR^2,*) $ non sono campi!!! Non sono neanche anelli.
Il primo è un gruppo, l'altro non è un gruppo.
Se consideri$(U(RR^2),*)$ è un gruppo moltiplicativo. (forse, dipende sempre chi è $*$ !!!!!)
Ma mi sorge un dubbio, chi sono $+,*$? ci sono almeno due modi per dare una struttura di anello $RR^2$ , una in particolare di Campo.
Ti consiglio vivamente di vedere qui
Ora, ti pregherei ad una riflessione.
Allora, supponiamo di avere
1)$f : A -> A' $ isomorfismo di anelli, cosa vuol dire concettualmente che $A$ e $A'$ sono isomorfi?
2)e se ho $g : B -> B'$ omomorfismo di anelli, cosa vuol dire concettualmente che c'è un omomorfismo di anelli tra $B$ e $B'$?
3) esaminiamo un caso concreto
supponi di avere $A=ZZ$ , $B=2ZZ$ (insieme dei pari) . Sia $A$ che $B$ sono anelli mediante le operazioni canoniche che conosciamo.
Mi sai dire se
$h : A -> B $ definita ponendo $AA x in A : f(X)=2x$ è un omomorfismo di anelli oppure no?
Sei ineffetti proprio davanti alla definizione di "omomorfismo di anelli" , in cui vengono coinvolte entrambe le operazioni di un anello.
Aggiungerei un'altra riflessione molto importante per te dato il livello a cui presumo tu sia:
- Perchè (come giustamente fa notare kashaman) l'insieme $mathbbR^2$, dotato del prodotto, (definito come l'usuale prodotto fra numeri reali) NON è un gruppo?
Riesci a fornire una dimostrazioncina formale di questo?
Provaci!
Aggiungerei un'altra riflessione molto importante per te dato il livello a cui presumo tu sia:
- Perchè (come giustamente fa notare kashaman) l'insieme $mathbbR^2$, dotato del prodotto, (definito come l'usuale prodotto fra numeri reali) NON è un gruppo?
Riesci a fornire una dimostrazioncina formale di questo?
Provaci!
Aggiungerei una piccolissima cosa. (non proprio banale.)
Se consideriamo $(RR\timesRR,+,*)$
con
$+ : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
$* : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Allora $RR\timesRR$ è un anello. In particolare è un campo.
Con le operazioni sopra definite , si dimostra che esiste un isomorfismo tra $RR\timesRR$ e $CC$. (e questo spiegherebbe perché per rappresentare numeri complessi possiamo usare coppie ordinate del tipo $(a,b)$ con $a,b$ reali9
Se consideriamo $(RR\timesRR,(+),(*))$
con
$(+) : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
$(*) : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(*) : (a,b)*(c,d)=(ac,bd)$
Allora $RR\timesRR$ è un anello, è detto prodotto diretto di $RR$. In particolare è un anello commutativo, unitario ma non integro.
Infatti, siano $(a,0) , (0,b) in RR\timesRR$ entrambi diversi dallo zero.
si ha allora che
$(a,0)(*)(0,b)=(a0,0b)=(0,0)$ pur essendo entrambi diversi da zero.
Ciao ciao
EDIT : a questo punto penso che il post vada spostato in algebra, o sbaglio?
Se consideriamo $(RR\timesRR,+,*)$
con
$+ : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
$* : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Allora $RR\timesRR$ è un anello. In particolare è un campo.
Con le operazioni sopra definite , si dimostra che esiste un isomorfismo tra $RR\timesRR$ e $CC$. (e questo spiegherebbe perché per rappresentare numeri complessi possiamo usare coppie ordinate del tipo $(a,b)$ con $a,b$ reali9
Se consideriamo $(RR\timesRR,(+),(*))$
con
$(+) : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
$(*) : (RR\timesRR)\times(RR\timesRR)-> (RR\timesRR)$
definita ponendo $AA (a,b) , (c,d) in RR\timesRR$
$(*) : (a,b)*(c,d)=(ac,bd)$
Allora $RR\timesRR$ è un anello, è detto prodotto diretto di $RR$. In particolare è un anello commutativo, unitario ma non integro.
Infatti, siano $(a,0) , (0,b) in RR\timesRR$ entrambi diversi dallo zero.
si ha allora che
$(a,0)(*)(0,b)=(a0,0b)=(0,0)$ pur essendo entrambi diversi da zero.
Ciao ciao
EDIT : a questo punto penso che il post vada spostato in algebra, o sbaglio?
Certo, Kashaman. Ho spostato.
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