Spiegazione Gruppo Ciclico

[Raycast]

Ragazzi, non frequentando i corsi non riesco proprio a mettermi in testa i gruppi ciclici e gli ordini degli elementi! Qualcuno potrebbe darmi una spiegazione semplice, breve e chiara? Ho capito solo che si dice ciclico se un elemento di quell'insieme riesce a generare tuttli gli altri. Ma ad esempio si dice che equivale a tutti gli $a^n$ ma quindi vale solo per la moltiplicazione? Cioè se ho una operazione $x*y = 2x+y$, i generatori a cosa corrisponderebbero? Grazie.

[Richard_Dedekind]

Ti consiglio di riguardare decisamente bene la teoria, anche generale. Infatti, dovresti ben sapere che parlando di gruppi astratti la parola "moltiplicazione" è soltanto un termine colloquiale per indicare una qualsiasi operazione, che solo per familiarità è indicata in notazione di prodotto.
In secondo luogo, dovresti chiarirti come passare da notazione additiva a notazione moltiplicativa. Infatti, se in un gruppo si adotta la notazione moltiplicativa, parleremo di potenze e prodotti, ma gli elementi equivalenti in notazione additiva sono multipli e somme.

Un bell'esercizio per familiarizzare con il passaggio da notazione additiva a moltiplicativa è il seguente (non troppo facile):
mostrare che \((\mathbb{Z}[x],+)\simeq (\mathbb{Q}^*,\cdot)\), dove con \(\mathbb{Z}[x]\) si intende l'insieme dei polinomi in una indeterminata a coefficienti interi.