Spiegare come mai $((n),(r)) = ((n),(n-r))$?
Sto preparando alcune domande teoriche per l'orale di Matematica Discreta e sono arrivato a tale domanda:
Spiegare come mai $((n),(n-r)) = ((n),(r))$
Sulle dispense ho trovato questa risposta: "l'operazione di prendere il complementare stabilisce una corrispondenza biunivoca fra i sottoinsiemi di $X$ con $r$ elementi e quelli con $n-r$ elementi" ma io sinceramente non riesco a capire questa spiegazione, qualcuno può darmi una spiegazione più semplice? Non ho bisogno di eccessive formalità, se riesco a capire bene il perchè riuscirò a far capire anche ai professori all'orale che ho capito il motivo. Grazie in anticipo!
Spiegare come mai $((n),(n-r)) = ((n),(r))$
Sulle dispense ho trovato questa risposta: "l'operazione di prendere il complementare stabilisce una corrispondenza biunivoca fra i sottoinsiemi di $X$ con $r$ elementi e quelli con $n-r$ elementi" ma io sinceramente non riesco a capire questa spiegazione, qualcuno può darmi una spiegazione più semplice? Non ho bisogno di eccessive formalità, se riesco a capire bene il perchè riuscirò a far capire anche ai professori all'orale che ho capito il motivo. Grazie in anticipo!
Risposte
Direi che questo è sufficiente:
\(\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r)!r!} \)
ma immagino tu abbia definito l'operazione in modo diverso.
\(\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r)!r!} \)
ma immagino tu abbia definito l'operazione in modo diverso.
Non capisco cosa tu intenda, ma la tua spiegazione mi pare troppo semplice, poi non lo so.
Nelle mie dispense quando vengono definite le caratteristiche dei coefficienti binomiali (se ti servono maggiori info), dice:
"$((n),(n-1)) = n$ per ogni $n$ $in$ $NN^(+)$. Infatti, per $n$ positivo deve valere $((n),(n-1))=((n),(1))$: dato $X$ con $n$ elementi, i suoi sottoinsiemi di cardinalità 1 sono tanti quanti i sottoinsiemi di cardinalità $n-1$. La corrispondenza biunivoca è data dall'operazione di prendere il complementare."
Poi continua con la parte di cui parlo:
"Più in generale, dato $0 <= r <= n$, vale che $((n),(r))=((n),(n-r))$. Anche questa volta l'operazione di prendere il complementare stabilisce una corrispondenza biunivoca fra i sottoinsiemi di $X$ con $r$ elementi e quelli con $n-r$ elementi."
Nelle mie dispense quando vengono definite le caratteristiche dei coefficienti binomiali (se ti servono maggiori info), dice:
"$((n),(n-1)) = n$ per ogni $n$ $in$ $NN^(+)$. Infatti, per $n$ positivo deve valere $((n),(n-1))=((n),(1))$: dato $X$ con $n$ elementi, i suoi sottoinsiemi di cardinalità 1 sono tanti quanti i sottoinsiemi di cardinalità $n-1$. La corrispondenza biunivoca è data dall'operazione di prendere il complementare."
Poi continua con la parte di cui parlo:
"Più in generale, dato $0 <= r <= n$, vale che $((n),(r))=((n),(n-r))$. Anche questa volta l'operazione di prendere il complementare stabilisce una corrispondenza biunivoca fra i sottoinsiemi di $X$ con $r$ elementi e quelli con $n-r$ elementi."
In matematica non esiste il concetto di troppo semplice. Il punto è che se hai dimostrato la formula da me scritta allora il tutto discende dalla commutatività della moltiplicazione.
D'altra parte il significato di quella frase è il seguente: se tu scegli \(r\) elementi tra \(n\) allora tu stai implicitamente scartando gli altri \(n-r\) elementi; in altre parole scegliere cosa tenere o scegliere cosa scartare è esattamente equivalente.
D'altra parte il significato di quella frase è il seguente: se tu scegli \(r\) elementi tra \(n\) allora tu stai implicitamente scartando gli altri \(n-r\) elementi; in altre parole scegliere cosa tenere o scegliere cosa scartare è esattamente equivalente.
Per dimostrare che $((n),(k)) = ((n),(n-r))$ , si parte da $((n),(n-r))$ e ci si ricava esattamente $((n),(r))$, in questo modo
NOTA: $((n),(r)) = (n!)/((n-r)!)$ se ti stai domandando perché fai una ricerca sulle disposizioni semplici (matematica, calcolo combinatorio)
DIMOSTRAZIONE: $((n),(n-r)) = (n!)/((n-r)!(n-(n-r))!) = (n!)/((n-r)!r!) = (n!)/(r!(n-r)!) = ((n),(r))$
in tutto questo il passaggio fondamentale, sta nel capire che $n-(n-r) = r $
NOTA: $((n),(r)) = (n!)/((n-r)!)$ se ti stai domandando perché fai una ricerca sulle disposizioni semplici (matematica, calcolo combinatorio)
DIMOSTRAZIONE: $((n),(n-r)) = (n!)/((n-r)!(n-(n-r))!) = (n!)/((n-r)!r!) = (n!)/(r!(n-r)!) = ((n),(r))$
in tutto questo il passaggio fondamentale, sta nel capire che $n-(n-r) = r $
"vict85":
in altre parole scegliere cosa tenere o scegliere cosa scartare è esattamente equivalente.
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