Sottomoduli essenziali e somme dirette
Ciao a tutti!
Ho un problema nel cercare di dimostrare una proprietà dei sottomoduli essenziali in somme dirette.
Sia $M$ un $R$-modulo, $N_1\leq M_1 \leq M$, $N_2\leq M_2 \leq M$ con $M=M_1 \oplus M_2$. Devo dimostrare che se $N_1$ è sottomodulo essenziale di $M_1$ ed $N_2$ è sottomodulo essenziale di $M_2$, allora $N_1 \oplus N_2$ è essenziale in $M$.
Ecco quello che ho fatto:
Se $L\leq M$ è tale che $(N_1 \oplus N_2) \cap L = \{0\}$, allora $L \cap N_1=\{0\}$, da cui $L\cap M_1\cap N_1 =\{0\}$, da cui $L\cap M_1=\{0\}$ per essenzialità di $N_1$ in $M_1$ (essendo $L\cap M_1$ un sottomodulo di $M_1$). Allo stesso modo ho dedotto che $L\cap M_2 = \{0\}$ sfruttando l'essenzialità di $N_2$ in $M_2$.
Il punto è che da qui non riesco più ad andare avanti. Qualcuno mi può dare una mano? Se avete correzioni da fare sono bene accette. Grazie in anticipo!
Ho un problema nel cercare di dimostrare una proprietà dei sottomoduli essenziali in somme dirette.
Sia $M$ un $R$-modulo, $N_1\leq M_1 \leq M$, $N_2\leq M_2 \leq M$ con $M=M_1 \oplus M_2$. Devo dimostrare che se $N_1$ è sottomodulo essenziale di $M_1$ ed $N_2$ è sottomodulo essenziale di $M_2$, allora $N_1 \oplus N_2$ è essenziale in $M$.
Ecco quello che ho fatto:
Se $L\leq M$ è tale che $(N_1 \oplus N_2) \cap L = \{0\}$, allora $L \cap N_1=\{0\}$, da cui $L\cap M_1\cap N_1 =\{0\}$, da cui $L\cap M_1=\{0\}$ per essenzialità di $N_1$ in $M_1$ (essendo $L\cap M_1$ un sottomodulo di $M_1$). Allo stesso modo ho dedotto che $L\cap M_2 = \{0\}$ sfruttando l'essenzialità di $N_2$ in $M_2$.
Il punto è che da qui non riesco più ad andare avanti. Qualcuno mi può dare una mano? Se avete correzioni da fare sono bene accette. Grazie in anticipo!
Risposte
Prendi $(a,b)$ in $L$. Vuoi mostrare che $(a,b)=(0,0)$. Se uno tra $a$ e $b$ è zero sei a posto, quindi supponiamo (per assurdo) $a,b ne 0$. Allora $aR$ è un sottomodulo non nullo di $M_1$ quindi esiste $r in R$ tale che $0 ne ar in N_1$. Adesso considera $(ar,br) = (a,b)r in L$. Io continuerei da qui.
Perdonami, ma non riesco proprio a seguirti! L'unica cosa che mi è venuta in mente è reiterare il tuo ragionamento con $b$, trovando un $r' \in R$ tale che $0\ne br' \in N_2$, ma poi non so come andare avanti...
Non con $b$. Prova con $br$.
Provo: se $br = 0$, allora $(ar,br) \in M_1\cap L=\{0\}$, da cui $ar=0$, assurdo. Quindi $br\ne 0$ e allora col ragionamento di prima esiste $s\in R$ tale che $0\ne brs \in N_2$. Ma allora $(ars, brs) \in L\cap (N_1\oplus N_2)=\{0\}$, da cui $brs=0$, assurdo.
E' giusto?
E' giusto?
Giusto!
Grazie mille Martino! Il tuo aiuto è stato... essenziale 
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