Sottomoduli del gruppo di Prufer come Z-modulo

[jakojako]

Salve a tutti,
si consideri l'insieme
\(\displaystyle P=\left\{ q \in \mathbb{Q}: \exists m \in \mathbb{Z}, \exists n=0,1,2... \ni' q=\frac{m}{p^n}\right\} \) dove p è un primo (credo si tratti del gruppo di Prufer) e lo si riveda come un modulo su Z. Sia data poi la catena di sottomoduli
\(\displaystyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} (\frac{1}{p}) \subset \mathbb{Z} (\frac{1}{p^2})...\)
Come si dimostra che tali sottomoduli sono tutti e soli i sottomoduli di P che contengono Z? Vi ringrazio anticipatamente.

[j18eos]

Il titolo è tautologico, nel senso che gli \(\mathbb{Z}\)-moduli non sono né più né meno che i gruppi abeliani...

Sei sicuro sulla definizione di \(P\)? Non mi torna qualcosa...

Poi quale sarebbe l'operazione interna?

[jakojako]

Ovviamente so che gli Z-sottomoduli corrispondono ai sottogruppi del gruppo. Per quanto riguarda la definizione dell'insieme, mi è stata data questa quindi non saprei come ovviare alla tua perplessità. E infine credo si tratti di un gruppo additivo,anche perchè nella costruzione di un modulo sono partito sempre da questa struttura...

[j18eos]

La mia perplessità sta nel fatto che tutti i sottogruppi del \(p\)-gruppo di Prüfer sono finiti e non infiniti numerabili...
Per avere il \(p\)-gruppo di Prüfer dovresti richiedere che \(m\in\{0;...;p^n-1\}\)...