Sottoinsiemi e sottogruppi
Ciao, allora questa è la traccia ma voglio capire se la svolgo correttamente
dati:
$H_1 = {0, 2, 3, 4, 8, 6}$
$H_2 = {0, 2, 4, 5, 8}$
$H_3 = {12, 2, 4, 6, 8, 10}$
devo stabilire quali sono sottogruppi di $(ZZ_12 , +)$ e se si tratta di sottogruppi ciclici...
dalla teoria, sò che dato un H sottoinsieme di G, è sottogruppo di $(G, *)$ se $AA a, b in H, a*b^-1 in H$
dato che siamo in $(ZZ_12 , +)$ credo che H è sottogruppo se $AA a, b in H, a + (-b) in H$. fin'ora è corretto?
se sì, come procedo ora?
dati:
$H_1 = {0, 2, 3, 4, 8, 6}$
$H_2 = {0, 2, 4, 5, 8}$
$H_3 = {12, 2, 4, 6, 8, 10}$
devo stabilire quali sono sottogruppi di $(ZZ_12 , +)$ e se si tratta di sottogruppi ciclici...
dalla teoria, sò che dato un H sottoinsieme di G, è sottogruppo di $(G, *)$ se $AA a, b in H, a*b^-1 in H$
dato che siamo in $(ZZ_12 , +)$ credo che H è sottogruppo se $AA a, b in H, a + (-b) in H$. fin'ora è corretto?
se sì, come procedo ora?
Risposte
Inizia a controllare quali di questi sottoinsiemi hanno l'elemento neutro di [tex]$\mathbb{Z}_{12}$[/tex]. 
tutti e tre.... hanno rispettivamente: 0, 0 e 12
Bravo! 
Escludi i sottoinsiemi instabili rispetto alla somma di [tex]$\mathbb{Z}_{12}$[/tex] e verifica la proprietà da te detta sull'insieme rimasto.
Escludi i sottoinsiemi instabili rispetto alla somma di [tex]$\mathbb{Z}_{12}$[/tex] e verifica la proprietà da te detta sull'insieme rimasto.
mi sfugge cosa tu intenda per instabili ^__^
in ogni caso, se quello che ho scritto io è corretto, come tu mi dici, per i primi due insiemi non ho problemi perchè mi basta dimostrare che una sola coppia a,b non abbia valori in H
lavorando su $H_1$, $6 + (-8) = -2$ che non è nel sottoinsieme in quanto -2 in $ZZ_12 = 10$
lavorando su $H_2$, $5 + (-8) = -3$ che non è nel sottoinsieme in quanto -3 in $ZZ_12 = 9$
per l'ultimo rimasto devo una trentina di calcoli per provare tutte le combinazioni di a e b?
in ogni caso, se quello che ho scritto io è corretto, come tu mi dici, per i primi due insiemi non ho problemi perchè mi basta dimostrare che una sola coppia a,b non abbia valori in H
lavorando su $H_1$, $6 + (-8) = -2$ che non è nel sottoinsieme in quanto -2 in $ZZ_12 = 10$
lavorando su $H_2$, $5 + (-8) = -3$ che non è nel sottoinsieme in quanto -3 in $ZZ_12 = 9$
per l'ultimo rimasto devo una trentina di calcoli per provare tutte le combinazioni di a e b?
L'instabilità di un sottoinsieme del sostegno di una struttura algebrica vuol dire che componendo una coppia di suoi elementi rispetto ad un'operazione interna od un suo elemento con elemento del dominio operatoriale di un operazione esterna si ottiene un elemento non presente in tale insieme! Capito? 
Per quanto riguarda [tex]$H_3$[/tex] basta notare che i suoi elementi sono multipli di [tex]$2$[/tex] e quindi...
Per quanto riguarda [tex]$H_3$[/tex] basta notare che i suoi elementi sono multipli di [tex]$2$[/tex] e quindi...
sì, quindi quello che dicevo io $a +(-b)$ non in H
per $H_3$ mi basta dire questo? cioè, dato che sono multipli di due, $AA a, b in H_3, a + (-b)$ è ancora multiplo di due, quindi in $H_3$
corretto?
grazie 1000 per l'aiuto!
per $H_3$ mi basta dire questo? cioè, dato che sono multipli di due, $AA a, b in H_3, a + (-b)$ è ancora multiplo di due, quindi in $H_3$
corretto?
grazie 1000 per l'aiuto!
Devi solo dimostrare che [tex]$a+(-b)$[/tex] sia un multiplo di [tex]$2$[/tex] ed hai concluso!
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
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