Sottoinsieme (di un gruppo) stabile per coniugio
Un sottoinsieme $S$ di un gruppo $G$ si dice stabile per coniugio se $xsx^-1 \in S \ \ \forall x \in G, \ \ s \in S$.
(i) Provare che $\forall X \subset G $ l'insieme ${S|X\subseteq S \subseteq G$, $S$ stabile per coniugio$}$ ha un elemento minimo (per l'inclusione).
(ii) Dimostrare che se $S$ è stabile per coniugio allora anche il sottogruppo generato da $S$ è stabile per coniugio.
Ho dei dubbi sulla mia soluzione del punto (i)..nella soluzione "ufficiale" allegata al testo dell'esercizio si dimostra che $\overline{X} = \bigcup_(g \in X) C(g)$ è il minimo cercato, dove $C(g)={xgx^-1|x \in G}$ è la classe di coniugio di $g$.
La mia soluzione invece era questa:
sia $M=\bigcap_(S \in \mathcal{A}) S$, dove $\mathcal{A}:={S|X \subseteq S \subseteq G : S$ stabile per coniugio $}$ con $X\subset G$ fissato.
Provo che tale $M$ è il minimo cercato.
In primo luogo, $X\subseteq S \ \ \forall S \Rightarrow X \subseteq \bigcapS=M$ e $\bigcapS subset G$. Devo ora provare che $M$ è stabile per coniugio: sia $s \in M$; poichè $s \in \bigcap S, \forall g \ \ \in G \ \ gsg^-1 \in \bigcap S=M$ poichè per ipotesi ogni $S$ è stabile per coniugio. Quindi $M$ è stabile per coniugio e $M\in \mathcal{A}$.
Devo ora mostrare che $M$ è il minimo di $\mathcal{A}$, cosa vera per costruzione poichè $M=\bigcap_(S\in \mathcal{A})S \subseteq S\ \ \forall S$.
Pensate che questa soluzione sia giusta? Secondo voi l'insieme $M$ della mia soluzione è uguale all'insieme $\overline{X}$ della soluzione sopra?
Grazie in anticipo, spero di non aver fatto troppi errori!
(i) Provare che $\forall X \subset G $ l'insieme ${S|X\subseteq S \subseteq G$, $S$ stabile per coniugio$}$ ha un elemento minimo (per l'inclusione).
(ii) Dimostrare che se $S$ è stabile per coniugio allora anche il sottogruppo generato da $S$ è stabile per coniugio.
Ho dei dubbi sulla mia soluzione del punto (i)..nella soluzione "ufficiale" allegata al testo dell'esercizio si dimostra che $\overline{X} = \bigcup_(g \in X) C(g)$ è il minimo cercato, dove $C(g)={xgx^-1|x \in G}$ è la classe di coniugio di $g$.
La mia soluzione invece era questa:
sia $M=\bigcap_(S \in \mathcal{A}) S$, dove $\mathcal{A}:={S|X \subseteq S \subseteq G : S$ stabile per coniugio $}$ con $X\subset G$ fissato.
Provo che tale $M$ è il minimo cercato.
In primo luogo, $X\subseteq S \ \ \forall S \Rightarrow X \subseteq \bigcapS=M$ e $\bigcapS subset G$. Devo ora provare che $M$ è stabile per coniugio: sia $s \in M$; poichè $s \in \bigcap S, \forall g \ \ \in G \ \ gsg^-1 \in \bigcap S=M$ poichè per ipotesi ogni $S$ è stabile per coniugio. Quindi $M$ è stabile per coniugio e $M\in \mathcal{A}$.
Devo ora mostrare che $M$ è il minimo di $\mathcal{A}$, cosa vera per costruzione poichè $M=\bigcap_(S\in \mathcal{A})S \subseteq S\ \ \forall S$.
Pensate che questa soluzione sia giusta? Secondo voi l'insieme $M$ della mia soluzione è uguale all'insieme $\overline{X}$ della soluzione sopra?
Grazie in anticipo, spero di non aver fatto troppi errori!
Risposte
E' giusta e, se vuoi saperlo, è quella che avrei dato anch'io. L'altra ha il pregio di essere più descrittiva. Prova a far vedere che [tex]M = \overline{X}[/tex] per doppia inclusione! 
Prima di tutto grazie per la risposta!
Per mostrare che $M = \overline{X}$ ho fatto nel modo seguente:
parto dal presupposto di aver dimostrato che $M$ è il minimo di $\mathcal{A}$ e mostro l'uguaglianza sopra. Ho già dimostrato che $M$ è chiuso per coniugio per dimostrare che è il minimo di $\mathcal{A}$; quindi, poichè le classi di coniugio di tutti gli elementi di $M$ sono contenute in $M$, $M$ è partizionato da esse. In particolare, dato che $X\subseteq M$, $\forall x \in X \ \ C(x)\subseteqM \ \ \Rightarrow \overline{X}=\bigcup C(x) \subseteq M$.
Per mostrare l'inclusione opposta faccio vedere che in $M$ non ci sono classi di coniugio che abbiano intersezione vuota con $\overline{X}$; supponiamo per assurdo che ve ne siano, siano esse $D_i, i\in I$, tali che $\bigcup D_i \cap \overline{X} = \emptyset$. Allora $M':=M \ \ \backslash\bigcupD_i$ è tale che $X\subseteqM'\subseteqG$ e $M'$ è ancora stabile per coniugio, quindi $M' \in \mathcal{A}$, ma per costruzione $M'\subseteq M$, che è assurdo poichè $M$ è il minimo di $\mathcal{A}$. Dunque, $\forall s \in M \ \ \exists x \in X : s\in C(x)$, cioè $M\subseteq \bigcupC(x)=\overline{X}$.
Può andar bene?
Per mostrare che $M = \overline{X}$ ho fatto nel modo seguente:
parto dal presupposto di aver dimostrato che $M$ è il minimo di $\mathcal{A}$ e mostro l'uguaglianza sopra. Ho già dimostrato che $M$ è chiuso per coniugio per dimostrare che è il minimo di $\mathcal{A}$; quindi, poichè le classi di coniugio di tutti gli elementi di $M$ sono contenute in $M$, $M$ è partizionato da esse. In particolare, dato che $X\subseteq M$, $\forall x \in X \ \ C(x)\subseteqM \ \ \Rightarrow \overline{X}=\bigcup C(x) \subseteq M$.
Per mostrare l'inclusione opposta faccio vedere che in $M$ non ci sono classi di coniugio che abbiano intersezione vuota con $\overline{X}$; supponiamo per assurdo che ve ne siano, siano esse $D_i, i\in I$, tali che $\bigcup D_i \cap \overline{X} = \emptyset$. Allora $M':=M \ \ \backslash\bigcupD_i$ è tale che $X\subseteqM'\subseteqG$ e $M'$ è ancora stabile per coniugio, quindi $M' \in \mathcal{A}$, ma per costruzione $M'\subseteq M$, che è assurdo poichè $M$ è il minimo di $\mathcal{A}$. Dunque, $\forall s \in M \ \ \exists x \in X : s\in C(x)$, cioè $M\subseteq \bigcupC(x)=\overline{X}$.
Può andar bene?
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