Sottogruppo normale proprio non banale

[gbspeedy]

Devo provare che il gruppo G ammette almeno un sottogruppo normale proprio non banale (quindi diverso da G e {1}) nel caso che |G|=$p^2(p+3)$ con $p>=5$ , p numero primo

Devo usare i teoremi di Sylow?

[Steven11]

Ciao, io andrei con la classica azione sui laterali. Considera il sottogruppo $P$ di ordine $p^2$ e l'insieme dei laterali $G/P$. Con la solita azione, $G$ agisce su $G/P$, che e' un insieme di $p+3$ elementi, e questo individua una mappa $\varphi : G \to S_{p+3}$, che certamente e' non banale (non manda tutto nell'identita'). Se riesci a dimostrare che la mappa e' non iniettiva, hai finito, perche' il nucleo e' un sottogruppo normale proprio. Questo si vede facilmente: se la mappa fosse iniettiva, $S_{p+3}$ conterrebbe un sottogruppo isomorfo a $G$, ma questo non e' possibile per Lagrange (e qua usi che $p \geq 5$).
Spero sia chiaro!

Ciao

[Studente Anonimo]

Mi pare che si possa anche semplicemente usare il teorema di Sylow: il numero di $p$-Sylow divide $p+3$ ed è congruo a 1 modulo $p$ ...