Sottogruppo normale ed elemento coniugato
Buonasera. Avrei bisogno di un consulto per il seguente esercizio tratto dall'Hernstein.
Se in un gruppo finito $G$ un elemento $a$ ha esattamente due coniugati, dimostrare che $G$ ha un sottogruppo normale $N != (e), G$.
Innanzitutto direi che $o(G)>2$ in quanto se fosse $o(G)=2$ si avrebbe $G={e,a}$ ma in tale caso $a$ avrebbe un unico coniugato ossia se stesso.
Se $a$ ha esattamente due coniugati allora la classe di coniugio di $a$ $Cl(a)$ ha due soli elementi, quindi $|Cl(a)|=2$.
Sappiamo poi che il centralizzante di $a$ in $G$ cioè $C(a)$ è un sottogruppo di $G$ e che in tale caso si ha: $o(C(a))=(o(G))/|Cl(a)|=(o(G))/2$.
Da questo risultato si evince che necessariamente $o(G)$ è un numero pari. Inoltre che $C(a)$ è un sottogruppo proprio di $G$.
Viene quindi il sospetto che il sottogruppo normale cercato sia proprio $C(a)$. Ma come provarlo?
Dalla formula $o(C(a))=(o(G))/2$ si ha che ci sono due distinti laterali destri di $C(a)$ in $G$ quindi si potrebbe provare che il prodotto di questi due laterali destri di $C(a)$ in $G$ è ancora un laterale destro di $C(a)$ in $G$. Ma qui mi blocco.
Un'idea alternativa sarebbe quella di considerare il sottogruppo centro di $G$ $Z(G)$ che sappiamo essere normale. Per un risultato sappiamo che $a in Z(G)$ se e soltanto se $o(C(a))=o(G)$, pertanto da quanto visto sopra $a notin Z(G)$ e pertanto $Z(G) != G$. Resterebbe allora da provare che è anche $Z(G) != (e)$ per avere la tesi.
Eventualmente siete a conoscenza di esempi pratici, tipo $S_n$ e di un suo elemento $a$ soddisfacente le ipotesi di cui sopra e di fornirmi esplicitamente il sottogruppo cercato? Grazie
Se in un gruppo finito $G$ un elemento $a$ ha esattamente due coniugati, dimostrare che $G$ ha un sottogruppo normale $N != (e), G$.
Innanzitutto direi che $o(G)>2$ in quanto se fosse $o(G)=2$ si avrebbe $G={e,a}$ ma in tale caso $a$ avrebbe un unico coniugato ossia se stesso.
Se $a$ ha esattamente due coniugati allora la classe di coniugio di $a$ $Cl(a)$ ha due soli elementi, quindi $|Cl(a)|=2$.
Sappiamo poi che il centralizzante di $a$ in $G$ cioè $C(a)$ è un sottogruppo di $G$ e che in tale caso si ha: $o(C(a))=(o(G))/|Cl(a)|=(o(G))/2$.
Da questo risultato si evince che necessariamente $o(G)$ è un numero pari. Inoltre che $C(a)$ è un sottogruppo proprio di $G$.
Viene quindi il sospetto che il sottogruppo normale cercato sia proprio $C(a)$. Ma come provarlo?
Dalla formula $o(C(a))=(o(G))/2$ si ha che ci sono due distinti laterali destri di $C(a)$ in $G$ quindi si potrebbe provare che il prodotto di questi due laterali destri di $C(a)$ in $G$ è ancora un laterale destro di $C(a)$ in $G$. Ma qui mi blocco.
Un'idea alternativa sarebbe quella di considerare il sottogruppo centro di $G$ $Z(G)$ che sappiamo essere normale. Per un risultato sappiamo che $a in Z(G)$ se e soltanto se $o(C(a))=o(G)$, pertanto da quanto visto sopra $a notin Z(G)$ e pertanto $Z(G) != G$. Resterebbe allora da provare che è anche $Z(G) != (e)$ per avere la tesi.
Eventualmente siete a conoscenza di esempi pratici, tipo $S_n$ e di un suo elemento $a$ soddisfacente le ipotesi di cui sopra e di fornirmi esplicitamente il sottogruppo cercato? Grazie
Risposte
Quando hai un sottogruppo $H$ di $G$ tale che [tex]|G|/|H|=2[/tex] (cioè $H$ ha indice $2$) allora automaticamente $H$ è normale in $G$.
Per provarlo considera l'uguaglianza [tex]G = H \cup Hg = H \cup gH[/tex], dove $g$ è un qualunque elemento di $G$ fuori da $H$. Le unioni scritte sono disgiunte, quindi si deve avere [tex]Hg = G-H = gH[/tex].
In $S_n$ quando $n$ è maggiore di $3$ nessun elemento ha esattamente due coniugati.
Prova a dimostrare in modo analogo che se un sottogruppo di $G$ ha esattamente due coniugati allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e proprio.
Per provarlo considera l'uguaglianza [tex]G = H \cup Hg = H \cup gH[/tex], dove $g$ è un qualunque elemento di $G$ fuori da $H$. Le unioni scritte sono disgiunte, quindi si deve avere [tex]Hg = G-H = gH[/tex].
In $S_n$ quando $n$ è maggiore di $3$ nessun elemento ha esattamente due coniugati.
Prova a dimostrare in modo analogo che se un sottogruppo di $G$ ha esattamente due coniugati allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e proprio.
"deserto":Purtroppo questo in generale è falso. Infatti ( e questo risponde anche all'altra tua domanda), prendi $S_3$ e $a=(123)$. $a$ ha esattamente 2 coniugati, $(123)$ e $(132)$, quindi $C(a)$ ha indice $2$ (in questo caso è $$ stesso) ed è normale, ma $Z(S_3)={Id}$
Un'idea alternativa sarebbe quella di considerare il sottogruppo centro di $G$ $Z(G)$ che sappiamo essere normale. Per un risultato sappiamo che $a in Z(G)$ se e soltanto se $o(C(a))=o(G)$, pertanto da quanto visto sopra $a notin Z(G)$ e pertanto $Z(G) != G$. Resterebbe allora da provare che è anche $Z(G) != (e)$ per avere la tesi.
Grazie ad entrambi.
L'esempio di $S_3$ è esattamente la risposta a quanto richiedevo nella seconda domanda.
Per il primo dubbio, ossia su come provare che il prodotto dei due laterali destri di $C(a)$ in $G$ è ancora un laterale destro di $C(a)$ in G, mi comporterei nel seguente modo. Siccome $C(a)e=C(a)$ è un laterale destro di $C(a)$ in $G$, l'altro laterale sarà del tipo $C(a)g$ con $g!=e$, $g in G$ \ $C(a)$. Si ha subito $C(a)eC(a)g=C(a)C(a)g=C(a)g$, ossia quanto si voleva.
L'esempio di $S_3$ è esattamente la risposta a quanto richiedevo nella seconda domanda.
Per il primo dubbio, ossia su come provare che il prodotto dei due laterali destri di $C(a)$ in $G$ è ancora un laterale destro di $C(a)$ in G, mi comporterei nel seguente modo. Siccome $C(a)e=C(a)$ è un laterale destro di $C(a)$ in $G$, l'altro laterale sarà del tipo $C(a)g$ con $g!=e$, $g in G$ \ $C(a)$. Si ha subito $C(a)eC(a)g=C(a)C(a)g=C(a)g$, ossia quanto si voleva.
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