Sottogruppo normale
Stavo facendo un esercizio e nella soluzione c'è la seguente affermazione: "Se $H$ è l'unico sottogruppo di ordine 2 di $G$ allora esso è normale". Può darsi sia una banalità, ma non riesco a spiegarmelo. Innanzitutto, è vera quest'affermazione?
Ho provato a dimostrarla, ma mi blocco:
$H={e,a}$ dove $e$ è l'elemento neutro e l'altro elemento è l'unico elemento di ordine 2 in $G$.
Allora $\forall g \in G,$ $gH={g,ga}$ e $Hg={g,ag}$, perciò si tratta di dimostrare che $\forall g \in G, ga=ag$ (o anche $g=aga$), ma qui non riesco a continuare. Ho sbagliato qualcosa finora? Qualcuno ha un hint?
Grazie
Ho provato a dimostrarla, ma mi blocco:
$H={e,a}$ dove $e$ è l'elemento neutro e l'altro elemento è l'unico elemento di ordine 2 in $G$.
Allora $\forall g \in G,$ $gH={g,ga}$ e $Hg={g,ag}$, perciò si tratta di dimostrare che $\forall g \in G, ga=ag$ (o anche $g=aga$), ma qui non riesco a continuare. Ho sbagliato qualcosa finora? Qualcuno ha un hint?
Grazie
Risposte
Come corollario al teorema di Sylow sarebbe immediato, in quanto tutti i $p$-sylow sono coniugati e quindi è normale se e solo se è unico.
Senza scomodare però Sylow. Sia $H$ il tuo sottogruppo. Prendi un $g in G$ e considera $gHg^(-1)$. Sicuramente $|gHg^(-1)|$=$|H|$. Ma, data l'unicità, $gHg^(-1)=H$. Essendo $g$ generico hai che il tuo gruppo $H$ è normale in $G$.
Il tutto, ovviamente, a meno di errori!
Senza scomodare però Sylow. Sia $H$ il tuo sottogruppo. Prendi un $g in G$ e considera $gHg^(-1)$. Sicuramente $|gHg^(-1)|$=$|H|$. Ma, data l'unicità, $gHg^(-1)=H$. Essendo $g$ generico hai che il tuo gruppo $H$ è normale in $G$.
Il tutto, ovviamente, a meno di errori!
vale in generale per sottogruppi di qualsiasi ordine di un gruppo finito, non solo per sottogruppi di ordine 2.
Cioè vale in generale che se un gruppo finito G ha un unico sottogruppo di dato ordine, questo è normale.
Comunque anche tu, svolgendolo nel caso particolare, ci sei quasi arrivato...
devi considerare però il sottogruppo (e si dimostra facilmente che è sottogr di G (basta dimostrare la chiusura rispetto all'operazione)
$gHg^-1$
e notare che ha ordine 2 e quindi è proprio $H$, come ti hanno già detto..
ciao!
Cioè vale in generale che se un gruppo finito G ha un unico sottogruppo di dato ordine, questo è normale.
Comunque anche tu, svolgendolo nel caso particolare, ci sei quasi arrivato...
devi considerare però il sottogruppo (e si dimostra facilmente che è sottogr di G (basta dimostrare la chiusura rispetto all'operazione)
$gHg^-1$
e notare che ha ordine 2 e quindi è proprio $H$, come ti hanno già detto..
ciao!
Grazie a entrambi! Tutto chiaro 
Comunque ogni sottogruppo di indice 2 è normale. E ogni sottogruppo che è unico del suo ordine è normale. Inoltre se [tex]d[/tex] è il più piccolo divisore primo di un numero finito [tex]n[/tex] e un gruppo [tex]G[/tex] di cardinalità [tex]n[/tex] ha un sottogruppo [tex]H[/tex] di indice d allora esso è normale.
Vediamo di fornire una dimostrazione a ciò che non è dimostrato da altri prima di me:
1) [tex]H
Dimostrazione: per ipotesi [tex]H[/tex] ha due laterali sinistri [tex]H[/tex] e [tex]gH[/tex]. Prendiamo quindi [tex]g_1 \in gH[/tex] e dimostriamo che [tex]g_1g\in H[/tex]. Supponiamo per assurdo che [tex]g_1gH = g_1H[/tex], allora [tex]g_1^{-1}g_1g \in H[/tex] e quindi l'assurdo. Da questo si deduce che esiste un omomorfismo tra G e [tex]\mathbf{Z}_2[/tex] e che quindi H è normale
2) Per il secondo commento ti metto il link perché è meno immediato e più lungo da scrivere http://planetmath.org/?op=getobj&from=o ... PrimeIndex
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Avevo letto indice al posto di ordine :p va beh lo tengo...
Comunque riguardo al tuo problema se vuoi usare gli elementi ti basta osservare che se a è l'elemento non neutro del sottogruppo allora [tex](gag^{-1})^2 = gag^{-1}gag^{-1} = gaag^{-1} = gg^{-1} = e[/tex] e quindi ha ordine 2 e deve coincidere con [tex]a[/tex] per l'unicità della sottogruppo di ordine 2.
Vediamo di fornire una dimostrazione a ciò che non è dimostrato da altri prima di me:
1) [tex]H
Dimostrazione: per ipotesi [tex]H[/tex] ha due laterali sinistri [tex]H[/tex] e [tex]gH[/tex]. Prendiamo quindi [tex]g_1 \in gH[/tex] e dimostriamo che [tex]g_1g\in H[/tex]. Supponiamo per assurdo che [tex]g_1gH = g_1H[/tex], allora [tex]g_1^{-1}g_1g \in H[/tex] e quindi l'assurdo. Da questo si deduce che esiste un omomorfismo tra G e [tex]\mathbf{Z}_2[/tex] e che quindi H è normale
2) Per il secondo commento ti metto il link perché è meno immediato e più lungo da scrivere http://planetmath.org/?op=getobj&from=o ... PrimeIndex
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Avevo letto indice al posto di ordine :p va beh lo tengo...Comunque riguardo al tuo problema se vuoi usare gli elementi ti basta osservare che se a è l'elemento non neutro del sottogruppo allora [tex](gag^{-1})^2 = gag^{-1}gag^{-1} = gaag^{-1} = gg^{-1} = e[/tex] e quindi ha ordine 2 e deve coincidere con [tex]a[/tex] per l'unicità della sottogruppo di ordine 2.
"vict85":
Comunque ogni sottogruppo di indice 2 è normale. E ogni sottogruppo che è unico del suo ordine è normale. Inoltre se [tex]d[/tex] è il più piccolo divisore primo di un numero finito [tex]n[/tex] e un gruppo [tex]G[/tex] di cardinalità [tex]n[/tex] ha un sottogruppo [tex]H[/tex] di indice d allora esso è normale.
Ah, l'ultima proprietà che hai detto non la conoscevo. Ti ringrazio per la segnalazione e per le dimostrazioni che hai fornito
"vict85":
Ahah, no problem!
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