Sottogruppo normale
Sera, c'è un passaggio che non capisco di una dimostrazione per sottogruppi normali di algebra 1 piuttosto semplice che credo proprio di non afferrare.
Quel che si vuole dimostrare è che dato per hp G gruppo e che per ogni $g in G, gH=Hg$ (ove gH e Hg sono le classi laterali sx e dx di g) allora la relazione $≡_H^l$ è compatibile (ossia $x≡_H^lx' and y≡_H^ly' <=> x*y≡_H^lx'*y'$)
DIM:
voglio dimostrare che $x*y≡_H^lx'*y'$ partendo da (vere) $x≡_H^lx' and y≡_H^ly'$, ora essendo per def.
$x*y≡_H^lx'*y'$ <=> $(xy)^(-1)x'y' in H$ la riscrivo come $(xy)^(-1)x'y'=y^(-1)x^(-1)x'y'$ (1)
ora dice che $x^(-1)x' in H$ quindi: $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$ (2) con l'ultimo passaggio sfrutto l'ipotesi gH=Hg.
Prima di continuare vorrei sottolineare il mio primo dubbio in questo passaggio $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'$ perché H è di per sé un insieme quindi che senso ha la scrittura $y^(-1)Hy'$ inoltre cosa vuol dire poi "agganciare H a y' " per poter sfruttare che è il laterale sx di y' ossia $Hy'$. E anche scrivere $in$ non mi convince poiché $y^(-1)Hy'$ non è un insieme.
Insomma non riesco a capire come dal $x^(-1)x' in H$ passi a sosituire H in (1) e di fatto far uscire il laterale in (2), laterale che poi si sfrutta moltiplicandolo per $y^(-1)$ a sx per scrivere $y^(-1)Hy'$ ma che senso ha scrivere l'insieme H per un elemento? C'è qualcosa che mi sfugge.
Quel che si vuole dimostrare è che dato per hp G gruppo e che per ogni $g in G, gH=Hg$ (ove gH e Hg sono le classi laterali sx e dx di g) allora la relazione $≡_H^l$ è compatibile (ossia $x≡_H^lx' and y≡_H^ly' <=> x*y≡_H^lx'*y'$)
DIM:
voglio dimostrare che $x*y≡_H^lx'*y'$ partendo da (vere) $x≡_H^lx' and y≡_H^ly'$, ora essendo per def.
$x*y≡_H^lx'*y'$ <=> $(xy)^(-1)x'y' in H$ la riscrivo come $(xy)^(-1)x'y'=y^(-1)x^(-1)x'y'$ (1)
ora dice che $x^(-1)x' in H$ quindi: $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$ (2) con l'ultimo passaggio sfrutto l'ipotesi gH=Hg.
Prima di continuare vorrei sottolineare il mio primo dubbio in questo passaggio $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'$ perché H è di per sé un insieme quindi che senso ha la scrittura $y^(-1)Hy'$ inoltre cosa vuol dire poi "agganciare H a y' " per poter sfruttare che è il laterale sx di y' ossia $Hy'$. E anche scrivere $in$ non mi convince poiché $y^(-1)Hy'$ non è un insieme.
Insomma non riesco a capire come dal $x^(-1)x' in H$ passi a sosituire H in (1) e di fatto far uscire il laterale in (2), laterale che poi si sfrutta moltiplicandolo per $y^(-1)$ a sx per scrivere $y^(-1)Hy'$ ma che senso ha scrivere l'insieme H per un elemento? C'è qualcosa che mi sfugge.
Risposte
\(y^{-1}Hy' := \{y^{-1}hy'\mid h\in H\}\), il resto segue.
Grazie per la tua risposta. Tuttavia credo di stare intortandomi sulla notazione, nel senso che:
poiché \(y^{-1}Hy' := \{y^{-1}hy'\mid h\in H\}\)
riprendiamo la (2) $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$
io devo struttare che: $gH:={gh|h in H}={hg|h in H}=:Hg$ per scrivere l'ultimo uguale della (2)
ma mi incasino perché come lo sfrutto in ciò ${y^{-1}hy'| h\in H}$
Ti ringrazio.
poiché \(y^{-1}Hy' := \{y^{-1}hy'\mid h\in H\}\)
riprendiamo la (2) $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$
io devo struttare che: $gH:={gh|h in H}={hg|h in H}=:Hg$ per scrivere l'ultimo uguale della (2)
ma mi incasino perché come lo sfrutto in ciò ${y^{-1}hy'| h\in H}$
Ti ringrazio.
Non capisco quale sia il problema ora: usa l'ipotesi.
se (x^{-1}x'\in H\) e \(y^{-1}y'\in H\), allora hai dimostrato che (xy)^{-1}x'y' \in H\). Questo è quello che volevi. Per mostrare che \(\equiv_H\) è una congruenza dall'altro lato si fa similmente.
se (x^{-1}x'\in H\) e \(y^{-1}y'\in H\), allora hai dimostrato che (xy)^{-1}x'y' \in H\). Questo è quello che volevi. Per mostrare che \(\equiv_H\) è una congruenza dall'altro lato si fa similmente.
Quello, invero, mi è abbastanza chiaro. Il dubbio è un po' più a monte, cerco di spegarmi meglio:
io ho l'insieme $y^-1Hy$ e la (2): $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$
Il passaggio che mi infastidisce è: $y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$ perché sostituisco $Hy'$ che è un insieme con $y'H$ nell'insieme $y^(-1)Hy'$ ottenendo l'insieme $y^(-1)y'H$.
Di fatto mi sembra di "sostituire" un "pezzetto" della notazione dell'insieme da te definito: y^-1Hy' (per sfruttare l'HP. gH=Hg), come fosse qualcosa di "concreto".
io ho l'insieme $y^-1Hy$ e la (2): $(xy)^(-1)x'y' in y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$
Il passaggio che mi infastidisce è: $y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$ perché sostituisco $Hy'$ che è un insieme con $y'H$ nell'insieme $y^(-1)Hy'$ ottenendo l'insieme $y^(-1)y'H$.
Di fatto mi sembra di "sostituire" un "pezzetto" della notazione dell'insieme da te definito: y^-1Hy' (per sfruttare l'HP. gH=Hg), come fosse qualcosa di "concreto".
"sgrisolo":No: quella è un'uguaglianza di insiemi; l'insieme \(y^{-1}Hy'\) è uguale all'insieme \(y^{-1}y'H\), per l'ipotesi che \(y'H=Hy'\).
Il passaggio che mi infastidisce è: $y^(-1)Hy'=y^(-1)y'H$ perché sostituisco $Hy'$ che è un insieme con $y'H$ nell'insieme $y^(-1)Hy'$ ottenendo l'insieme $y^(-1)y'H$.
Sisì esatto, è lì che volevo arrivare, cioè non capisco come dimostrare che data l'uguaglianza
$y'H:={y'h|h in H}={hy'|h in H}=:Hy'$
Posso usarla in tale insieme \(y^{-1}Hy' := \{y^{-1}hy'\mid h\in H\}\)
per ottenere $y^-1y'H$ altro insieme. Lo vedo intuitivamente ma non capisco come formalizzarlo con tali scritture. Era questo che chiedevo malamente prima..
$y'H:={y'h|h in H}={hy'|h in H}=:Hy'$
Posso usarla in tale insieme \(y^{-1}Hy' := \{y^{-1}hy'\mid h\in H\}\)
per ottenere $y^-1y'H$ altro insieme. Lo vedo intuitivamente ma non capisco come formalizzarlo con tali scritture. Era questo che chiedevo malamente prima..
Due insiemi \(A,B\) sono uguali se \(A\subseteq B\) e \(B\subseteq A\).
Ti ringrazio.
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