Sottogruppo normale
Ciao, ho un dubbio rispetto al verificare se dato un gruppo ed un sottogruppo, il sottogruppo è normale.
Per ogni elemento del gruppo devo verificare che le rispettive classi laterali dx e sx siano uguali giusto?
Ma queste classi laterali devono essere uguali tra loro nella totalità?Ossia tutte le classi laterali dx e sx uguali tra loro oppure solo rispetto all'elemento del gruppo considerato?
Per ogni elemento del gruppo devo verificare che le rispettive classi laterali dx e sx siano uguali giusto?
Ma queste classi laterali devono essere uguali tra loro nella totalità?Ossia tutte le classi laterali dx e sx uguali tra loro oppure solo rispetto all'elemento del gruppo considerato?
Risposte
puoi verificare in 2 modi equivalenti
1) $xH=Hx,forall x in G$
2) $xHx^(-1)=H,forall x in G$
1) $xH=Hx,forall x in G$
2) $xHx^(-1)=H,forall x in G$
Provo a fare un esempio pratico basato sul primo modo di verifica:
Il sottogruppo $H={I,(123),(132)}$ del gruppo S3.
Faccio $(23)H ={23,13,12}$ che è uguale a $H(23)$
Se faccio invece $(123)H={123,132,i}$ che è uguale a $H(123)$ e cosi via per tutti gli elementi.
Posso considerarlo un sottogruppo normale anche se $23H$ è diverso da $123H$?
Il sottogruppo $H={I,(123),(132)}$ del gruppo S3.
Faccio $(23)H ={23,13,12}$ che è uguale a $H(23)$
Se faccio invece $(123)H={123,132,i}$ che è uguale a $H(123)$ e cosi via per tutti gli elementi.
Posso considerarlo un sottogruppo normale anche se $23H$ è diverso da $123H$?
certamente
Potresti propormi un esercizio con le permutazioni in cui trovare il gruppo quoziente?Non ne trovo di svolti in rete..grazie.
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