Sottogruppo normale
Ho bisogno del vostro aiuto!
Se so che: \(\ H=< \alpha , \beta> \) e \(\ K=< \gamma > \) con \(\alpha =(134) \) , \(\beta=(13) \) e \(\gamma=(25) \) e inoltre \(\ G=< H , K> = HK \) , ho provato che \(G\) prodotto diretto di \(H\) e \(K\).
Ho anche provato che \(H\) è normale in \(G\), \(K\) è normale in \(G\), a questo punto posso dire che \(\ T=< \alpha^2 > \) è normale in \(G\) ???
Se so che: \(\ H=< \alpha , \beta> \) e \(\ K=< \gamma > \) con \(\alpha =(134) \) , \(\beta=(13) \) e \(\gamma=(25) \) e inoltre \(\ G=< H , K> = HK \) , ho provato che \(G\) prodotto diretto di \(H\) e \(K\).
Ho anche provato che \(H\) è normale in \(G\), \(K\) è normale in \(G\), a questo punto posso dire che \(\ T=< \alpha^2 > \) è normale in \(G\) ???
Risposte
Da cosa deduci che $T$ sia normale?
\(T\) è sottogruppo normale di \(H\) e \(H\) è sottogruppo normale di \(G\). Da ciò quindi non posso dedurre che \(T\) è sottogruppo normale di \(G\) ???
Guardati questo http://everything2.com/title/Example+of ... not+normal
L'essere sottogruppo normale non è in generale un proprietà transitiva.
Tra l'altro cosa puoi dire su \(T\)? Non noti nulla di \(\alpha\)?
L'essere sottogruppo normale non è in generale un proprietà transitiva.
Tra l'altro cosa puoi dire su \(T\)? Non noti nulla di \(\alpha\)?
"vict85":
Guardati questo http://everything2.com/title/Example+of ... not+normal
L'essere sottogruppo normale non è in generale un proprietà transitiva.
Tra l'altro cosa puoi dire su \(T\)? Non noti nulla di \(\alpha\)?
Esattamente, la proprietà di essere sottogruppo è transitiva, la normalità no (se ci pensi, essere sottogruppo è una cosa che dipende dal sottogruppo in sè, mentre la normalità dipende dall'insieme che contiene il sottogruppo
).
Sì, erroneamente pensavo valesse la proprietà transitiva! 
Mi potreste allora dare un suggerimento su come procedere per dimostrare che \(T\) è sottogruppo normale di \(G\)?? Secondo la definizione?
Mi potreste allora dare un suggerimento su come procedere per dimostrare che \(T\) è sottogruppo normale di \(G\)?? Secondo la definizione?
Comincia con il tenere conto che \(\alpha^2 = \alpha^{3-1} = \alpha^{-1}\)... A questo punto \(\langle \alpha^{-1}\rangle = \langle \alpha\rangle\). Detto questo \(T\) non è solo normale in \(H \cong D_3\) è caratteristico. Che lo sia è abbastanza evidente penso.
Il fatto che un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo normale è normale nel gruppo è una cosa semplice da dimostrare.
Un sottogruppo è normale se è mandato in sé dagli automorfismi interni del gruppo. Un sottogruppo è carateristico se lo fa per tutti gli automorfismi.
Sia \(g^*\in \mathrm{Inn}(G)\) allora \(g^*{\mid}_{H} \in \mathrm{Aut}(H)\). Pertanto \(g^*{\mid}_{H}(T) = g^*{\mid}_{T}(T) \subseteq T\) perché \(T\) è caratteristico in \(H\).
Il fatto che un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo normale è normale nel gruppo è una cosa semplice da dimostrare.
Un sottogruppo è normale se è mandato in sé dagli automorfismi interni del gruppo. Un sottogruppo è carateristico se lo fa per tutti gli automorfismi.
Sia \(g^*\in \mathrm{Inn}(G)\) allora \(g^*{\mid}_{H} \in \mathrm{Aut}(H)\). Pertanto \(g^*{\mid}_{H}(T) = g^*{\mid}_{T}(T) \subseteq T\) perché \(T\) è caratteristico in \(H\).
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