Sottogruppo in S4
Salve a tutti,
avrei un problema con questo quesito:
Il gruppo $S_4$ ha un sottogruppo normale di ordine 4 ?
l'unico modo che mi viene in mente per risolverlo sarebbe provare con tutti gli elementi del gruppo e semigruppo, esiste un modo più intuitivo per risolvere quesiti del genere?
avrei un problema con questo quesito:
Il gruppo $S_4$ ha un sottogruppo normale di ordine 4 ?
l'unico modo che mi viene in mente per risolverlo sarebbe provare con tutti gli elementi del gruppo e semigruppo, esiste un modo più intuitivo per risolvere quesiti del genere?
Risposte
In genere i sottogruppi normali si realizzano come nuclei di opportune azioni. Più piccolo è l'insieme su cui un dato gruppo agisce, più grande è il nucleo dell'azione (se [tex]G[/tex] agisce su [tex]X[/tex] con nucleo [tex]N[/tex] allora [tex]G/N[/tex] si immerge in [tex]\text{Sym}(X)[/tex]). Quindi per trovare sottogruppi normali "grandi" bisogna trovare azioni non banali su insiemi "piccoli".
Ci sono tre partizioni di [tex]\{1,2,3,4\}[/tex] che consistono di due sottoinsiemi disgiunti di cardinalità 2. Sono le seguenti:
[tex]\{1,2\} \cup \{3,4\}[/tex],
[tex]\{1,3\} \cup \{2,4\}[/tex],
[tex]\{1,4\} \cup \{2,3\}[/tex].
[tex]S_4[/tex] agisce in modo naturale sull'insieme [tex]P[/tex] che consiste di queste tre partizioni. [tex]\sigma \in S_4[/tex] manda la partizione [tex]\{a,b\} \cup \{c,d\}[/tex] nella partizione [tex]\{\sigma(a),\sigma(b)\} \cup \{\sigma(c),\sigma(d)\}[/tex]. Questa azione determina un omomorfismo [tex]S_4 \to \text{Sym}(P) \cong S_3[/tex] che risulta essere suriettivo. Quindi il nucleo di questa azione ha ordine 4.
Ci sono tre partizioni di [tex]\{1,2,3,4\}[/tex] che consistono di due sottoinsiemi disgiunti di cardinalità 2. Sono le seguenti:
[tex]\{1,2\} \cup \{3,4\}[/tex],
[tex]\{1,3\} \cup \{2,4\}[/tex],
[tex]\{1,4\} \cup \{2,3\}[/tex].
[tex]S_4[/tex] agisce in modo naturale sull'insieme [tex]P[/tex] che consiste di queste tre partizioni. [tex]\sigma \in S_4[/tex] manda la partizione [tex]\{a,b\} \cup \{c,d\}[/tex] nella partizione [tex]\{\sigma(a),\sigma(b)\} \cup \{\sigma(c),\sigma(d)\}[/tex]. Questa azione determina un omomorfismo [tex]S_4 \to \text{Sym}(P) \cong S_3[/tex] che risulta essere suriettivo. Quindi il nucleo di questa azione ha ordine 4.
Grazie per la risposta, anche se sinceramente non mi è molto chiara,
io per cercare di risolvere il caso specifico del sottogruppo in $S_4$ avrei provato ad applicare la definizione di sottogruppo normale, ossia \(g*h*g^-1 \in H \)
Non è possibile riuscire a capirlo con questo metodo?
io per cercare di risolvere il caso specifico del sottogruppo in $S_4$ avrei provato ad applicare la definizione di sottogruppo normale, ossia \(g*h*g^-1 \in H \)
Non è possibile riuscire a capirlo con questo metodo?
Sì certo, considera
[tex]V = \{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}[/tex].
Questo è un sottogruppo normale di [tex]S_4[/tex] perché consiste dell'identità più le permutazioni di struttura ciclica (2,2) (prodotto di due 2-cicli disgiunti) e due permutazioni coniugate hanno la stessa struttura ciclica.
Il problema è che questo [tex]V[/tex] te l'ho un po' tirato fuori dal cilindro, mentre nell'intervento precedente ho cercato di esporre delle idee un po' generali.
[tex]V = \{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}[/tex].
Questo è un sottogruppo normale di [tex]S_4[/tex] perché consiste dell'identità più le permutazioni di struttura ciclica (2,2) (prodotto di due 2-cicli disgiunti) e due permutazioni coniugate hanno la stessa struttura ciclica.
Il problema è che questo [tex]V[/tex] te l'ho un po' tirato fuori dal cilindro, mentre nell'intervento precedente ho cercato di esporre delle idee un po' generali.
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