Sottogruppo generato

thedarkhero
Sia G un gruppo, $X sube G$ un sottoinsieme non vuoto di G. Allora:
$ = {x_1^{e_1}...x_n^{e_n}\ |\ x_1,...,x_ninX;\ e_1,...,e_nin{-1,1};\ n>=0}$

Per dimostrarlo devo innanzitutto mostrare che ${x_1^{e_1}...x_n^{e_n}\ |\ x_1,...,x_ninX;\ e_1,...,e_nin{-1,1};\ n>=0}$ è sottogruppo di G ma non so come farlo...

[mod="Martino"]Ho sistemato il codice mathml[/mod]

Risposte
Gaal Dornick
per definizione $\langle X \rangle$ è il - più piccolo - sottogruppo - contenente $X$.
Quindi per provare il tuo teorema, prova che il tuo insieme è:
un sottogruppo
che contiene X
ed è il più piccolo sottogruppo a farlo (se un'altro sottogruppo contiene X allora contiene quel tuo insieme).

E fine.

thedarkhero
Si, era l'idea che avevo proposto...cominciare mostrando che è sottogruppo di G. Ma non mi viene in mente come posso mostrarlo.

vict85
La definizione è che è l'intersezione di tutti i sottogruppi che contengono $X$... Di conseguenza è banalmente il più piccolo sottogruppo che lo contiene.

Quindi devi dimostrare le seguenti cose:

1) è un sottogruppo e quindi contiene $$
2) è contenuto in ogni sottogruppo che contiene $X$ e quindi anche nella loro intersezione, cioé $$.

1) Usi semplicemente il criterio $xy^{-1}$... è banalmente vero, si tratta solo di invertire l'ordine degli elementi di $ y$ e cambiargli l'esponente.
2) Ogni sottogruppo contiene il prodotto di un numero finito di elementi di $X\cupX^{-1}$ e quindi contiene l'insieme considerato.

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