Sottogruppo di $S_6$ definito per generatori
Salve,
Volevo dimostrare che se in $S_6$ prendo in cicli $\tau = (1 4) $ e $ \sigma = (1 2 3 4 5 6)$ allora questi non sono un sistema di generatori per $S_6$. Di solito per dimostrare che un certo insieme di generatori genera $S_6$ si procede verificando che un certo sistema noto di generatori di $S_6$ si ottiene in vari modi dai due generatori $\sigma$ e $\tau$. Tuttavia se invece devo dimostrare che questi non generano $S_6$ non mi riesce facilmente dire che una certa permutazione, ad esempio $(1 2)$ non riesco ad ottenerla. Ha senso provare questa strada?
Già che c'ero ho provato a vedere a cosa sia isomorfo $<\sigma, \tau>$ per esercizio. Così nel caso con in mano l'isomorfismo rispondevo anche alla domanda di prima. Tuttavia anche qui sono in difficoltà perchè a parte coniugare tra di loro i generatori $\sigma$ e $\tau$ e scoprire relazioni (secondo me) poco utili, non mi viene in mente altro. Qualcuno mi può aiutare?
Quello che ho scoperto fino ad ora:
$\sigma \tau \sigma^-1 = (25) \notin <\tau>$
$\tau \sigma \tau = (156423) \notin <\sigma>$
(Quindi nessuno dei due genera sottogruppi ciclici normali)
inoltre si vede facilmente che $\sigma^\alpha \tau \sigma^{-\alpha} = (\sigma^\alpha(1), \sigma^\alpha(4)) = (1+\alpha, 4+\alpha)$
dove $\alpha$ varia tra 0 e 5.
Ho visto (con i numeri) che questi coniugi commutano tra di loro e sono 3 perche per $\alpha=0$ o $\alpha =3$ il coniugio è lo stesso e questo vale anche per $\alpha =1$ o $\alpha =4$ e per $\alpha = 2$ o $\alpha =5$.
Non so come altro impostare. Suggerisco solo che se riuscissi a trovare (se esiste) una relazione tra i generatori che mi permettesse di scrivere gli elementi del gruppo come qualcosa del tipo $\sigma^{\epsilon_1} \tau^{\epsilon_2}$ allora potrei stimare dall'alto il numero di elementi e concludere che sono meno di 6!.
Volevo dimostrare che se in $S_6$ prendo in cicli $\tau = (1 4) $ e $ \sigma = (1 2 3 4 5 6)$ allora questi non sono un sistema di generatori per $S_6$. Di solito per dimostrare che un certo insieme di generatori genera $S_6$ si procede verificando che un certo sistema noto di generatori di $S_6$ si ottiene in vari modi dai due generatori $\sigma$ e $\tau$. Tuttavia se invece devo dimostrare che questi non generano $S_6$ non mi riesce facilmente dire che una certa permutazione, ad esempio $(1 2)$ non riesco ad ottenerla. Ha senso provare questa strada?
Già che c'ero ho provato a vedere a cosa sia isomorfo $<\sigma, \tau>$ per esercizio. Così nel caso con in mano l'isomorfismo rispondevo anche alla domanda di prima. Tuttavia anche qui sono in difficoltà perchè a parte coniugare tra di loro i generatori $\sigma$ e $\tau$ e scoprire relazioni (secondo me) poco utili, non mi viene in mente altro. Qualcuno mi può aiutare?
Quello che ho scoperto fino ad ora:
$\sigma \tau \sigma^-1 = (25) \notin <\tau>$
$\tau \sigma \tau = (156423) \notin <\sigma>$
(Quindi nessuno dei due genera sottogruppi ciclici normali)
inoltre si vede facilmente che $\sigma^\alpha \tau \sigma^{-\alpha} = (\sigma^\alpha(1), \sigma^\alpha(4)) = (1+\alpha, 4+\alpha)$
dove $\alpha$ varia tra 0 e 5.
Ho visto (con i numeri) che questi coniugi commutano tra di loro e sono 3 perche per $\alpha=0$ o $\alpha =3$ il coniugio è lo stesso e questo vale anche per $\alpha =1$ o $\alpha =4$ e per $\alpha = 2$ o $\alpha =5$.
Non so come altro impostare. Suggerisco solo che se riuscissi a trovare (se esiste) una relazione tra i generatori che mi permettesse di scrivere gli elementi del gruppo come qualcosa del tipo $\sigma^{\epsilon_1} \tau^{\epsilon_2}$ allora potrei stimare dall'alto il numero di elementi e concludere che sono meno di 6!.
Risposte
Ti dò un suggerimento: $sigma^3$ commuta con $sigma$ e con $tau$.
Ti ringrazio. Effettivamente ci stavo pensando proprio un paio di minuti fa. $\sigma^3$ sta nel centro del gruppo. Il punto dove mi ero arenato era che non consideravo che il centro di $S6_$ fosse banale mentre il centro del gruppo da me considerato invece è non banale. Dunque non può essere $S_6$.
Comunque in merito alla rappresentazione del gruppo invece l'ultima idea che ho avuto è stata considerare $\tau_1:=(14), \tau_2:=(25), \tau_3:=(36)$ visto che si può verificare che tutti e 3 sono nel gruppo. Quindi il mio gruppo diventa $<\tau_1,\tau_2,\tau_3,\sigma>$.
A questo punto osservo che (come dicevi tu) $\tau_1\sigma^3\tau_1=\sigma^3, \tau_1, \tau_2, \tau_3$ commutano.
Dunque la presentazione del gruppo dovrebbe essere (a meno che non ci siano altre relazioni!) $<\tau_1,\ \tau_2,\ \tau_3,\ \sigma| \tau_1^2,\ \tau_2^2,\ \tau_3^2,\ \tau_1\sigma^3\tau_1\sigma^3,\ \tau_1\tau_2\tau_1\tau_2,\ \tau_1\tau_3\tau_1\tau_3,\ \tau_2\tau_3\tau_2\tau_3>$.
Se fosse veramente questo il gruppo sarebbe stato inutile perchè a occhio non si capisce cosa sia...
Se qualcuno volesse aggiungere critiche e commenti ne sarei grato
Comunque in merito alla rappresentazione del gruppo invece l'ultima idea che ho avuto è stata considerare $\tau_1:=(14), \tau_2:=(25), \tau_3:=(36)$ visto che si può verificare che tutti e 3 sono nel gruppo. Quindi il mio gruppo diventa $<\tau_1,\tau_2,\tau_3,\sigma>$.
A questo punto osservo che (come dicevi tu) $\tau_1\sigma^3\tau_1=\sigma^3, \tau_1, \tau_2, \tau_3$ commutano.
Dunque la presentazione del gruppo dovrebbe essere (a meno che non ci siano altre relazioni!) $<\tau_1,\ \tau_2,\ \tau_3,\ \sigma| \tau_1^2,\ \tau_2^2,\ \tau_3^2,\ \tau_1\sigma^3\tau_1\sigma^3,\ \tau_1\tau_2\tau_1\tau_2,\ \tau_1\tau_3\tau_1\tau_3,\ \tau_2\tau_3\tau_2\tau_3>$.
Se fosse veramente questo il gruppo sarebbe stato inutile perchè a occhio non si capisce cosa sia...
Se qualcuno volesse aggiungere critiche e commenti ne sarei grato
In generale non è facilissimo indovinare la struttura di un gruppo dati i generatori, se ti interessa ti posso dire (ho controllato con GAP) che il gruppo generato da $sigma$ e $tau$ è isomorfo a:
Sapendo questo forse riesci a dimostrarlo.
Sapendo questo forse riesci a dimostrarlo.
Grazie mille. In realtà $\tau_1, \tau_2$ e $\tau_3$ con quelle relazioni mi avevano fatto venire più di qualche sospetto (ma non ci sarei mai arrivato)... Comunque grazie mille. Proverò a dimostrarlo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo