Sottogruppo di $S_16$. Permutazione.
Ho il seguente esercizio.
Siano $\sigma= (1,3,15,7,10)(2,16,4,11)(5,8)(6,13,9)(12,14) in S_16$
$\tau= (1,13,14,9,15,6,8,5,12)(4,16,2,7,11,10,13) in S_16$
e sia $H$ un sottogruppo di $S_16$ tale che ${\sigma , \tau} sub S_16$. Provare che $H$ contiene un sottogruppo di ordine 18.
Io ho ragionato cosi :
Determiniamo prima $o(\sigma) = m.c.m ( 5,4,2,3,2) = 60$ e $o(\tau)= 63$.
Possiamo supporre che possa esistere un Sottogruppo di $S_16$ denotato con $H$ ciclico, tale che $\sigma , \tau in H$
Se $\sigma , \tau in H$ allora per il teorema di Lagrange , essendo $\sigma , \tau$ periodici risulterà che $o(\sigma)=60 | |H|$ e $o(\tau)= 63 | |H|$. e che dunque $|H| = m.c.m (60,63) = 1260$.
Possiamo supporre, senza ledere le generalità, che possa esistere un sottogruppo di $H$ , lo denoto con $K$ ,ciclico di ordine 18.
Se $K$ esiste allora avrà un generatore di periodo 18. Sia $s in K$ generatore di $K$ , $s$ periodico.
Poiché $o(k) = 18 | |H|$ sono soddisfatte nuovamente le ipotesi del teorema di Lagrange e dunque si ha la tesi.
Quindi Se H è un sottogruppo di $S_16$ contente ${\sigma, \tau}$ allora contiene anche un sottogruppo di ordine $18$.
Notate falle nel mio ragionamento?
Vi ringrazio per una vostra eventuale risposta.
Siano $\sigma= (1,3,15,7,10)(2,16,4,11)(5,8)(6,13,9)(12,14) in S_16$
$\tau= (1,13,14,9,15,6,8,5,12)(4,16,2,7,11,10,13) in S_16$
e sia $H$ un sottogruppo di $S_16$ tale che ${\sigma , \tau} sub S_16$. Provare che $H$ contiene un sottogruppo di ordine 18.
Io ho ragionato cosi :
Determiniamo prima $o(\sigma) = m.c.m ( 5,4,2,3,2) = 60$ e $o(\tau)= 63$.
Possiamo supporre che possa esistere un Sottogruppo di $S_16$ denotato con $H$ ciclico, tale che $\sigma , \tau in H$
Se $\sigma , \tau in H$ allora per il teorema di Lagrange , essendo $\sigma , \tau$ periodici risulterà che $o(\sigma)=60 | |H|$ e $o(\tau)= 63 | |H|$. e che dunque $|H| = m.c.m (60,63) = 1260$.
Possiamo supporre, senza ledere le generalità, che possa esistere un sottogruppo di $H$ , lo denoto con $K$ ,ciclico di ordine 18.
Se $K$ esiste allora avrà un generatore di periodo 18. Sia $s in K$ generatore di $K$ , $s$ periodico.
Poiché $o(k) = 18 | |H|$ sono soddisfatte nuovamente le ipotesi del teorema di Lagrange e dunque si ha la tesi.
Quindi Se H è un sottogruppo di $S_16$ contente ${\sigma, \tau}$ allora contiene anche un sottogruppo di ordine $18$.
Notate falle nel mio ragionamento?
Vi ringrazio per una vostra eventuale risposta.
Risposte
Secondo me il ragionamento non va bene. Se va dimostrato "che $H$
contiene un sottogruppo di ordine 18" non capisco perche'
"Possiamo supporre, senza ledere le generalità, che possa esistere
un sottogruppo di $H$ ciclico di ordine 18".
Ecco un ragionamento diverso:
La permutazione $\sigma=(1,3,15,7,10)(2,16,4,11)(5,8)(6,13,9)(12,14)$ e'
data come prodotto di cicli disgiunti. Invece per
$\tau=(1,13,14,9,15,6,8,5,12)(4,16,2,7,11,10,13)$ non e' cosi'.
Infatti, ci sono due "$13$". Quando calcoliamo il prodotto, troviamo un $15$-ciclo:
$\tau=(1,13,4,16,2,7,11,10,14,9,15,6,8,5,12)$
Un piccolo calcolo mostra che la permutazione $\tau\sigma\tau^{-1}$ e' uguale a
$\tau\sigma\tau^{-1}=(13,3,6,11,14)(7,2,16,10)(12,5)(8,4,15)(1,9)$.
In generale cicli disgiunti commutano e la $m$-esima potenza di un prodotto di
cicli disgiunti e' quindi uguale al prodotto delle $m$-esime potenze dei cicli.
In particolare
$\sigma^{20}=(6,9,13)$,
$(\tau\sigma\tau^{-1})^{10}=(7,16)(2,10)(8,4,15)$.
Questi due elementi di $H$ hanno ordini $3$ e $6$.
Siamo fortunati nel senso che abbiamo a che fare con cicli disgiunti!
I due elementi commutano quindi e generano un sottogruppo
abeliano di $H$ di ordine $3\cdot 6=18$.
Fatto.
Pero', secondo me l'intenzione dell'autore dell'esercizio
e' stata di dare anche $\tau$ come prodotto di cicli disgiunti
e c'e' un errore di stampa. La permutazione $\tau$ non e'
$\tau=(1,13,14,9,15,6,8,5,12)(4,16,2,7,11,10,13)$.
Invece, uno dei due "$13$" deve essere un "$3$".
Con questa "correzione" i due cicli che formano $\tau$ sono disgiunti.
Poiche' $\tau$ e' prodotto di due cicli disgiunti di lunghezza $7$ risp. $9$,
la permutazione $\tau^7$ e' un ciclo di lunghezza $9$. Infatti $\tau^7$ e' uguale
alla $7^a$ potenza del ciclo di lunghezza $9$ e sposta quindi
solo gli elementi di $A=\{1,13,14,9,15,6,8,5,12\}$.
Similmente $\sigma$ e' prodotto di cicli disgiunti di lunghezze $5,4,2,3,2$.
La permutazione $\sigma^30$ e' quindi uguale al quadrato del
ciclo di lunghezza $4$, vale a dire $(2,16,4,11)$,
e sposta solo gli elementi di $B=\{2,16,4,11\}$.
Siamo fortunati nel senso che $A\cap B=\emptyset$. Questo implica che
$\tau^7$ (di ordine $9$) e $\sigma^{30}$ (di ordine $2$) sono disgiunti
e quindi commutano. Il sottogruppo di $H$ generato da $\tau^7$ e $\sigma^{30}$
ha quindi ordine $9\cdot 2=18$.
contiene un sottogruppo di ordine 18" non capisco perche'
"Possiamo supporre, senza ledere le generalità, che possa esistere
un sottogruppo di $H$ ciclico di ordine 18".
Ecco un ragionamento diverso:
La permutazione $\sigma=(1,3,15,7,10)(2,16,4,11)(5,8)(6,13,9)(12,14)$ e'
data come prodotto di cicli disgiunti. Invece per
$\tau=(1,13,14,9,15,6,8,5,12)(4,16,2,7,11,10,13)$ non e' cosi'.
Infatti, ci sono due "$13$". Quando calcoliamo il prodotto, troviamo un $15$-ciclo:
$\tau=(1,13,4,16,2,7,11,10,14,9,15,6,8,5,12)$
Un piccolo calcolo mostra che la permutazione $\tau\sigma\tau^{-1}$ e' uguale a
$\tau\sigma\tau^{-1}=(13,3,6,11,14)(7,2,16,10)(12,5)(8,4,15)(1,9)$.
In generale cicli disgiunti commutano e la $m$-esima potenza di un prodotto di
cicli disgiunti e' quindi uguale al prodotto delle $m$-esime potenze dei cicli.
In particolare
$\sigma^{20}=(6,9,13)$,
$(\tau\sigma\tau^{-1})^{10}=(7,16)(2,10)(8,4,15)$.
Questi due elementi di $H$ hanno ordini $3$ e $6$.
Siamo fortunati nel senso che abbiamo a che fare con cicli disgiunti!
I due elementi commutano quindi e generano un sottogruppo
abeliano di $H$ di ordine $3\cdot 6=18$.
Fatto.
Pero', secondo me l'intenzione dell'autore dell'esercizio
e' stata di dare anche $\tau$ come prodotto di cicli disgiunti
e c'e' un errore di stampa. La permutazione $\tau$ non e'
$\tau=(1,13,14,9,15,6,8,5,12)(4,16,2,7,11,10,13)$.
Invece, uno dei due "$13$" deve essere un "$3$".
Con questa "correzione" i due cicli che formano $\tau$ sono disgiunti.
Poiche' $\tau$ e' prodotto di due cicli disgiunti di lunghezza $7$ risp. $9$,
la permutazione $\tau^7$ e' un ciclo di lunghezza $9$. Infatti $\tau^7$ e' uguale
alla $7^a$ potenza del ciclo di lunghezza $9$ e sposta quindi
solo gli elementi di $A=\{1,13,14,9,15,6,8,5,12\}$.
Similmente $\sigma$ e' prodotto di cicli disgiunti di lunghezze $5,4,2,3,2$.
La permutazione $\sigma^30$ e' quindi uguale al quadrato del
ciclo di lunghezza $4$, vale a dire $(2,16,4,11)$,
e sposta solo gli elementi di $B=\{2,16,4,11\}$.
Siamo fortunati nel senso che $A\cap B=\emptyset$. Questo implica che
$\tau^7$ (di ordine $9$) e $\sigma^{30}$ (di ordine $2$) sono disgiunti
e quindi commutano. Il sottogruppo di $H$ generato da $\tau^7$ e $\sigma^{30}$
ha quindi ordine $9\cdot 2=18$.
Effettivamente c'è un errore di battitura. La seconda risoluzione era quella da me interessata. Grazie mille-
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