Sottogruppo di permutazioni

[Antolepore94]

Buon pomeriggio, avrei bisogno di una mano in questo esercizio, essendo stato assente alla lezione in cui lo ha spiegato.. E' da più di tre ore che ci sto provando, grazie in anticipo!

Problema: è dato un insieme $ G = {id_4 , (1 4)(2 3) , (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4)} $

a) Dimostrare che G è un sottogruppo di $ S_4 $
b) Scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo G
[almeno un esempio di moltiplicazione come tra le permutazioni (1 4)(2 3) e (1 2)(3 4)
c) stabilire se G è ciclico

[vict85]

Li sai fare le moltiplicazioni?

[Antolepore94]

"vict85":Li sai fare le moltiplicazioni?

ahahahah ma stai scherzando? Da quello che ho capito io la moltiplicazione equivale all'operazione di composizione, solo che non saprei come comporre due prodotti di cicli disgiunti.

[Kashaman]

"Anto94m":[quote="vict85"]Li sai fare le moltiplicazioni?

ahahahah ma stai scherzando? Da quello che ho capito io la moltiplicazione equivale all'operazione di composizione[/quote] Esatto.

solo che non saprei come comporre due prodotti di cicli disgiunti.

Ti faccio un esempio. Prendi $\sigma_1 = (1 2)(3 4) , \sigma_2 = (1 3)(2 4)$ . Calcoliamo $\sigma_1 \sigma_2 = (1 2 )(3 4)*(1 3)(2 4) $

Leggendo le permutazioni da destra verso sinistra , osserviamo :
$1 -> 3 -> 4$ Quindi $\sigma_1\sigma_2(1)=4$.
$4 -> 2 -> 1$ Quindi $\sigma_1\sigma_2(4)=1$
$2->4-> 3$ Quindi $\sigma_1\sigma_2(2)=3$
$ 3-> 1-> 2$ Quindi $\sigma_1\sigma_2(3)=2$

Dunque, la decomposizione di $\sigma_1\sigma_2$ in cicli disgiunti risulta essere : $(1 4)(2 3) $.

Per quanto riguarda il quesito, dovresti cimentarti tu nei dettagli. E' semplice .
Il punto a) usa la def di sottogruppo e chiediti : questo insieme è chiuso? ha l'identità? ogni elemento ha un simmetrico nell'insieme?
Il punto b) nulla da dire. Osserva che b) risolve a). Nel senso che se ti scrivi la tabella hai gratis che quell'insieme è un gruppo.
c) Chiediti : ci stanno elementi di periodo quattro?

[Antolepore94]

Grazie mille del tuo aiuto!

[vict85]

Immaginavo che il problema fosse quello. Ma da come avevi posto il problema potevi anche avere dubbi su come fare l'esercizio in sé.

[Antolepore94]

"vict85":Immaginavo che il problema fosse quello. Ma da come avevi posto il problema potevi anche avere dubbi su come fare l'esercizio in sé.

Ok nessun problema, credo di aver svolto correttamente l'esercizio per quanto riguarda i punti a e b.

Ho fatto la tabella delle composizioni e ogni elemento risulta essere appartenente a G (da cui risulta vera la condizione dei sottogruppi $AA f,g in g , f * g in G$). Inoltre, la diagonale principale della matrice ha come elemento $idS_4$, da cui possiamo dedurre che ogni elemento ha inverso (e quindi risulta vera la condizione dei sottogruppi $AA x in G, f^-1 in G$), e G è certamente non vuoto, per cui G è un sottogruppo di $S_4$.

"Kashaman":c) Chiediti : ci stanno elementi di periodo quattro?

Per quanto riguarda il punto c, da quel che ho capito, G non dovrebbe essere ciclico (se potete confermarmelo), perchè tutti i cicli disgiunti appartenenti a G, hanno periodo 2, ad es $|(12)(34)| = mcm (|(12)|, |(34)|) = mcm (2,2) = 2$
Inoltre, se non erro, $|idS_4| = 1$, per cui G non è ciclico.


Edit: Sapete dirmi anche se c'è qualche trucchetto per fare velocemente le tabelle, o vedere subito se la composizione di due gruppi ciclici non appartiene al gruppo? Sto facendo un esercizio analogo a quello di prima con 8 elementi nell'insieme, e dovrei fare una tabella 8x8!

[vict85]

Ogni elemento ha ordine 2 quindi il sottogruppo, che ha cardinalità 4, è banalmente non ciclico.

In generale non esistono metodi per velocizzare le tabelle. Siccome ogni elemento ha ordine due hai però che \(\displaystyle \sigma\tau = (\sigma\tau)^{-1} = \tau^{-1}\sigma^{-1} = \tau\sigma \) purché ovviamente si abbia \(\displaystyle \sigma\tau \in S_4\). Questo dovrebbe ridurre i prodotti.