Sottogruppo di indice 2

[Oshawott277]

Per dimostrare che un sgr di indice 2 è normale, posso visualizzarlo come nucleo di omomorfismo? Come posso definire l'omomorfismo?
Ho pensato ad un omomorfismo $f:G->G$ che mandi $x$ nell'identità, se $x\inH$ ..... però se $x\notinH$ non so bene come definirlo.
Conosco già l'altra dimostrazione di considerare l'insieme quoziente ecc.
Mi chiedevo se ci fosse un modo di visualizzarlo come nucleo di omomorfismo.

[Shocker1]

Ciao, provo io

Allora, cosa significa che $H$ ha indice $2$? Beh significa che $G//H = {H, gH}, g \in G$. Quindi se vogliamo vederlo come nucleo di un omomorfismo dobbiamo cercare gruppi di ordine $2$, un'idea potrebbe essere considerare il seguente omomorfismo $f:G \to \mathbb{Z_2}$ definito così:

$f(x) := \{([0]_2 \if x \in H), ([1]_2 \if x \in gH):}$

Ora tutto sta nel dimostrare che $f$ è un omomorfismo fra $G$ e $Z_2$, poi per il primo teorema di omomorfismo hai la tesi.

Spero di non aver scritto castronerie, ciao!

[Oshawott277]

Grazie della risposta.
Distinguiamo i casi:
1) $x,y\inH$ allora $f(xy)=0=f(x)+f(y)$ ok.
2) Se prendiamo $x\inH$ e $y\ingH$ avrò che
$f(x)+f(y)=0+1=1$
mentre
$f(xy)=f(xgh)$ dove $h\inH$
e $xgh$ deve stare in $gH$ perché se stesse in $H$ avrei un assurdo moltiplicandolo a sinistra per $x^-1$
quindi anche $f(xy)=1$ Ok anche qui.
3) Se $x,y\ingH$ allora $f(x)+f(y)=1+1=0$
$f(xy)=f(ghgh')$
E devo far vedere che $ghgh'\inH$
Se stesse in $gH$ allora $hgh'\inH$ assurdo come nel punto 2.

Avevo pensato a questo omomorfismo, peraltro anche il gruppo alterno è nucleo di un omomorfismo su $ZZ_(2ZZ)$, ma mi ero confuso pensando che lavorando con le classi si dovesse poi supporre che $H$ è normale per poter "commutare" e far vedere che un prodotto come $xgh$ sta in $gH$ e a priori non potevo saperlo, e invece viene fuori che non è necessario e si può ragionare per assurdo e sfruttando il fatto che ci sono solo due classi.
Grazie!