Sottogruppo di gruppo simmetrico
Buonasera a tutti ragazzi.
Ho un esercizio che chiede:
preso $S_12$ il gruppo delle permutazioni su $ X= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}$
si dica se l'insieme T delle permutazioni che fissano gli elementi $1,2,3$ è un sottogruppo di $S_12$.
Ora so che presa un generica permutazione $sigma$ allora si dice che $sigma$ fissa un elemento se preso $x in X$ allora $sigma(x) = x$
Dunque le permutazioni richieste, sarebbero del tipo:
$sigma_1 = (1) (2) (3, 4, 5, 6) (7, 8, 9, 10, 11, 12)$
$sigma_2 = (1) (2) (3, 4) (5, 6, 7)$
Come posso fare per rispondere al quesito?
Grazie per la disponibilità, buona serata.
Ho un esercizio che chiede:
preso $S_12$ il gruppo delle permutazioni su $ X= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}$
si dica se l'insieme T delle permutazioni che fissano gli elementi $1,2,3$ è un sottogruppo di $S_12$.
Ora so che presa un generica permutazione $sigma$ allora si dice che $sigma$ fissa un elemento se preso $x in X$ allora $sigma(x) = x$
Dunque le permutazioni richieste, sarebbero del tipo:
$sigma_1 = (1) (2) (3, 4, 5, 6) (7, 8, 9, 10, 11, 12)$
$sigma_2 = (1) (2) (3, 4) (5, 6, 7)$
Come posso fare per rispondere al quesito?
Grazie per la disponibilità, buona serata.
Risposte
Innanzitutto, ogni permutazione può essere decomposta nel prodotto di cicli disgiunti e quindi una generica permutazione che fissa gli elementi \(1\), \(2\), \(3\) sarà del tipo
\(\sigma = (1)(2)(3) \alpha_1 \alpha_2 \ldots\)
dove gli \(\alpha_i\) sono cicli disgiunti che non contengono \(1\), \(2\), \(3\), come ad esempio
\((1)(2)(3)(5\, 11\, 4)(6\, 7)\).
Nessuna delle due permutazioni che hai elencato fissano \(3\), quindi non appartengono a \(T\).
Per risolvere l'esercizio puoi dimostrare i seguenti step:
\(\sigma = (1)(2)(3) \alpha_1 \alpha_2 \ldots\)
dove gli \(\alpha_i\) sono cicli disgiunti che non contengono \(1\), \(2\), \(3\), come ad esempio
\((1)(2)(3)(5\, 11\, 4)(6\, 7)\).
Nessuna delle due permutazioni che hai elencato fissano \(3\), quindi non appartengono a \(T\).
Per risolvere l'esercizio puoi dimostrare i seguenti step:
[*:2dkhsbc0] La permutazione identica appartiene a \(T\) quindi \(T\) è un insieme non vuoto.[/*:m:2dkhsbc0]
[*:2dkhsbc0] Se una permutazione fissa \(x\) allora la permutazione inversa fisserà anch'essa \(x\) e pertanto l'inverso di ogni elemento di \(T\) appartiene a \(T\).[/*:m:2dkhsbc0]
[*:2dkhsbc0] Se hai due permutazioni che fissano \(x\) allora il loro prodotto(composizione) fisserà \(x\), perciò \(T\) è chiuso rispetto al prodotto.[/*:m:2dkhsbc0]
[*:2dkhsbc0] Deduci che \(T\) è un sottogruppo di \(S_n\).[/*:m:2dkhsbc0][/list:u:2dkhsbc0]
Molto chiaro, grazie mille. Un'ultima domanda. Se dovessi dedurre l'ordine di di T, in che modo potrei procedere?
Potrebbe venirti in mente che siccome stai considerando tutte le permutazioni che fissano i primi tre elementi allora \(T\) sia isomorfo a \(S_{n-3}\), perciò basterebbe esplicitare una funzione biunivoca tra i due insiemi per dedurre che hanno la stessa cardinalità e che \(|T| = (n-3)!\).
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