Sottogruppo con numero finito di coniugati in normalizzante gruppo, e quoziente con il nocciolo

[ti2012]

Buonasera a tutti. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H$ avente un numero finito di coniugati nel normalizzante $N_G(K) = N$ dove $K$ è un sottogruppo di $G$ tale che $|K : H|$ è finito (ossia l'indice di $H$ in $K$ è finito), perchè si ha che il gruppo quoziente $K/H_N$ (dove $H_N$ è il nocciolo di $H$ in $N$) è finito?? Ho pensato varie cose, riguardanti le classi di coniugio di un sottogruppo (quindi i coniugati di un sottogruppo), il nocciolo di un sottogruppo in un gruppo, a qualche teorema ma non sono riuscita ad arrivare a ciò che dovevo dimostrare ossia che $K/H_N$ è finito :/. Tanto tanto gentilmente qualcuno potrebbe aiutarmi? Vi ringrazio tantissimo

[Studente Anonimo]

Perché $H_N$ è un'intersezione di un numero finito di coniugati di H e hanno tutti indice finito in K (perché H ha indice finito in K). Un'intersezione finita di sottogruppi di indice finito ha indice finito.

[ti2012]

Sì, sì, grazie mille

[ti2012]

Chiedo scusa, nel materiale di studio, immediatamente dopo l'affermazione che $K/H_N$ è finito, c'è scritto che da ciò segue che $K/H_N$ è incluso nell'FC-centro di $N/H_N$ (per FC-centro di $N/H_N$ si intende l'insieme di tutti gli elementi di $N/H_N$ che hanno un numero finito di coniugati in $N/H_N$).. Per un teorema studiato, so che se abbiamo un gruppo G finito e a un elemento di G, allora il numero dei coniugati di a è un divisore dell'ordine di G. Quindi applicando tale teorema a $K/H_N$, abbiamo che il numero dei coniugati in $K/H_N$ di un generico elemento di $K/H_N$ è finito. Perchè si ha che $K/H_N$ è incluso nell'FC-centro di $N/H_N$?? Cosa mi assicura che anche il numero dei coniugati in $N/H_N$ di un generico elemento di $K/H_N$ è finito? Se per esempio $N/H_N$ fosse infinito allora potrebbero esserci infiniti coniugati degli elementi di $K/H_N$ :/ ..Sbaglio??

[Studente Anonimo]

"ti2012":Chiedo scusa, nel materiale di studio, immediatamente dopo l'affermazione che $K/H_N$ è finito, c'è scritto che da ciò segue che $K/H_N$ è incluso nell'FC-centro di $N/H_N$

Ma questo è ovvio, i coniugati degli elementi di $K//H_N$ tramite elementi di $N//H_N$ stanno in $K//H_N$ perché N è il normalizzante di K. Quindi il loro numero è finito perché stanno tutti in un gruppo finito.

[ti2012]

Grazie mille . Ho fatto il seguente ragionamento: Essendo $N$ = $N_G(K)$, banalmente si ha che $N/H_N$ = $N_(G/H_N)(K/H_N)$ $=$ { $xH_N$ $in$ $G/H_N$ : $xH_NK/H_N$ = $K/H_NxH_N$ }. Pertanto quando vado a considerare il generico coniugato di un elemento $kH_N$ tramite un elemento $xH_N$ di $N/H_N$, ossia il coniugato $(xH_N)^(-1)$ $kH_N$$xH_N$, sostituisco $kH_NxH_N$ con $xH_NkH_N$ ottenendo $kH_N$ che appartiene a $K/H_N$ che è finito. Dunque i coniugati in $N/H_N$ degli elementi di $K/H_N$ stanno in $K/H_N$. E' esatto il ragionamento?