Sottogruppo ciclico generato

[FELPONE]

Salve, ho questo gruppo (esempio libro): $G={1,x,x^2,y,xy,x^2y}$ . Poi mi si dice che l'elemento $xy$ ha ordine 2 e genera un sottogruppo ciclico $H={1,xy}$. Premetto che so cosa sia l'ordine di un gruppo e il sottogruppo ciclico, ma non capisco come faccia a dire in questo caso che xy ha ordine 2.

[vict85]

La descrizione del gruppo è mal definita, la scrittura degli elementi non è un modo chiaro per esprimere un gruppo. Ciò che non è scritto dovrebbe essere incluso nella lista ma non vi è un modo predefinito per associarli. Comunque, siccome possiede 6 elementi o è ciclico oppure è isomorfo a \(S_3\cong D_3\).

Per capire quello che intendo con non è chiaro ti approfondisco un po' il discorso su quel gruppo. Se poni \(y=x^3\) (cosa assolutamente possibile!) allora \(xy = xx^3 = x^4\), \(x^2y = x^5\) e quindi il gruppo è ciclico. Mentre nella mente del libro si ha \(y\) come involuzione qualsiasi di \(S_3\) e il gruppo coincidente con \(S_3\cong D_3\).

La prima parte sui possibili gruppi di ordine 6 la puoi ignorare se non lo hai mai visto, il punto è che dovresti cambiare libro. Che libro stai usando?

[FELPONE]

Il libro è di Artin Michael

[vict85]

A che pagina è l'esempio?

[FELPONE]

67

[vict85]

Ok, direi che il problema non è il libro.

Il libro fa riferimento al fatto che il gruppo è \(S_3\) e che lo ha descritto precedentemente. Quindi per capire perché \(xy\) ha ordine due dovresti tornare indietro a leggerti la descrizione.

Comunque puoi supporre \(x = (123)\) e \(y = (12)\) quindi \(\displaystyle xy = (123)(12) = (13) \).