Sottogruppo ciclico di S9

[LaMatematica1]

Ciao a tutti,
dovrei dimostrare che il sottogruppo H di \(\displaystyle S_9 \) generato da \(\displaystyle (1 \ 3 \ 4 \ 7)(2\ 5\ 8) \) è ciclico.

Tuttavia non riesco ad effettuare questa dimostrazione. L'unico modo per poterla completare è applicare la definizione e quindi calcolare tutti i 12 elementi di H per poi verificare che sono tutti potenze del generatore?
Grazie
[xdom="j18eos"]Sposto in "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/xdom]

[j18eos]

A notar bene: \(H\) è generato da un unico elemento, per cui è ciclico di suo!

Casomai: come si riesce a dimostrare che il suo ordine è \(12\)?

Indizio: i cicli che definiscono quella permutazione hanno supporti disgiunti?

[LaMatematica1]

Credo di essermi espresso male perché la traccia è ambigua, se il generatore di H fosse \(\displaystyle \left( 1\ 3\ 4\ 7 \right),\left( 2\ 5\ 8 \right) \) ovvero composto da 2 permutazioni e non dal prodotto di due permutazioni
dove (1347) e (258) sono gruppi ciclici cosa accadrebbe?

Per quanto riguarda l'ordine, è possibile affermare che sia 12 perché dati due gruppi ciclici di ordine rispettivamente p e q, se \(\displaystyle (p,q)=1 \) allora il loro prodotto diretto ha ordine \(\displaystyle pq \)?

[j18eos]

Hai sdoppiato la domanda?

Se sì: per la prima domanda resta valido il mio suggerimento; per la seconda domanda: la rispota è sì (se non erro).

Riesci a giustificare questa risposta?

[luca691]

Le potenze di ciascuna delle due permutazioni lasciano fissi gli elementi mossi dalle potenze dell'altra, per cui commutano le une con le altre. Pertanto, $\langle\sigma\rangle\langle\tau\rangle=\langle\tau\rangle\langle\sigma\rangle$ è un sottogruppo di $S_9$ di ordine $\frac{|\langle\sigma\rangle||\langle\tau\rangle|}{|\langle\sigma\rangle\cap \langle\tau\rangle|}=$ $\frac{4\cdot 3}{1}=12$.