Sottogruppo ciclico di permutazioni in $S_n$
Salve ragazzi,
ho risolto l'esercizio che vi pongo di seguito e vorrei sapere se l'ho fatto bene!
Esercizio:
E' assegnata la permutazione di $S_7$
$f = ((1 2 3 4 5 6 7), (5 7 6 4 1 2 3))$
(a)determinare il sottogruppo ciclico $$ di $S_7$ generato da $f$
(b)determinare l'insieme dei sottogruppi di $$
(c)tracciare il diagramma di hasse ordinato per inclusione dell'insieme dei sottogruppi e determinare gli eventuali complementi degli elementi
- Risoluzione (a):
Ho scomposto in cicli disgiunti $f = (15) (2 7 3 6)$
dunque $o(f) = m.c.m(2, 4) = 4$ e così conosco il suo ordine;
a questo punto applicando la definizione di sottogruppo generato so che
$ = {id, f, f^2, f^3}$
- Risoluzione (b):
Per determinare l'insieme dei sottogruppi devo considerare i divisori dell'ordine di $f$, quindi:
$k = 1, 2, 4$ (sono le potenze in base alle quali vado poi a calcolare i sottogruppi)
il sottogruppo $H_1 = {id}$
il sottogruppo $H_2= {id, f^2}$
infine il sottogruppo $H_4 =$
Spero sia corretto fin qui.
- Risoluzione (c):
Applicando la definizione di complemento mi risulta che nessun elemento del diagramma ha complementi, quindi di conseguenza non potrà mai trattarsi di un reticolo di Boole.
Cosa ne pensate?
ho risolto l'esercizio che vi pongo di seguito e vorrei sapere se l'ho fatto bene!
Esercizio:
E' assegnata la permutazione di $S_7$
$f = ((1 2 3 4 5 6 7), (5 7 6 4 1 2 3))$
(a)determinare il sottogruppo ciclico $
(b)determinare l'insieme dei sottogruppi di $
(c)tracciare il diagramma di hasse ordinato per inclusione dell'insieme dei sottogruppi e determinare gli eventuali complementi degli elementi
- Risoluzione (a):
Ho scomposto in cicli disgiunti $f = (15) (2 7 3 6)$
dunque $o(f) = m.c.m(2, 4) = 4$ e così conosco il suo ordine;
a questo punto applicando la definizione di sottogruppo generato so che
$
- Risoluzione (b):
Per determinare l'insieme dei sottogruppi devo considerare i divisori dell'ordine di $f$, quindi:
$k = 1, 2, 4$ (sono le potenze in base alle quali vado poi a calcolare i sottogruppi)
il sottogruppo $H_1 = {id}$
il sottogruppo $H_2= {id, f^2}$
infine il sottogruppo $H_4 =
Spero sia corretto fin qui.
- Risoluzione (c):
Applicando la definizione di complemento mi risulta che nessun elemento del diagramma ha complementi, quindi di conseguenza non potrà mai trattarsi di un reticolo di Boole.
Cosa ne pensate?
Risposte
Penso sia corretto.
Scusate se mi intrometto, vorrei chiedere delucidazione sul punto B).
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?
"Neptune":
Scusate se mi intrometto, vorrei chiedere delucidazione sul punto B).
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?
Beh, un gruppo ciclico di ordine 4 ha solo il sottogruppo banale e il sottogruppo di ordine 2. E poi tutto di cosa?
Penso Neptune si riferisca al teorema di Lagrange.
Sì, Neptune, esiste una "regola" (che appunto si chiama th. di Lagrange) che dice che, dato un gruppo $G$ di ordine $g$, l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di $g$.
Quindi, un gruppo di ordine 4 può avere un sottogruppo di ordine 1, uno di ordine 2 e uno di ordine 4. Nota che ho detto "può": infatti, Lagrange non dice nulla circa l'esistenza di detti sottogruppi; dice che se esistono allora hanno come ordine un divisore di $g$.
Prova a rispondere a questa semplice domanda, per vedere se hai capito: un gruppo di ordine $1325$ può avere un sottogruppo di ordine $2$?
Sì, Neptune, esiste una "regola" (che appunto si chiama th. di Lagrange) che dice che, dato un gruppo $G$ di ordine $g$, l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di $g$.
Quindi, un gruppo di ordine 4 può avere un sottogruppo di ordine 1, uno di ordine 2 e uno di ordine 4. Nota che ho detto "può": infatti, Lagrange non dice nulla circa l'esistenza di detti sottogruppi; dice che se esistono allora hanno come ordine un divisore di $g$.
Prova a rispondere a questa semplice domanda, per vedere se hai capito: un gruppo di ordine $1325$ può avere un sottogruppo di ordine $2$?
"vict85":
[quote="Neptune"]Scusate se mi intrometto, vorrei chiedere delucidazione sul punto B).
Perchè si considerano solo i divisori dell'ordine di F? Non si prendono tutte? oppure sono io che faccio confusione?
Qualcuno potrebbe citarmi la regola a tal proposito?
Beh, un gruppo ciclico di ordine 4 ha solo il sottogruppo banale e il sottogruppo di ordine 2. E poi tutto di cosa?[/quote]
Come hai detto anche tu, $f$, di ordine 4, sarà composto da quattro elementi ovvero $f={id,f^1,f^2,f^3}$, quindi se vogliamo dedurre dei sottogruppi di F, potremmo avere, a mio dire:
$h_1=f$ ovvero dei sottogruppi "Banali" di cui uno è "lo stesso $f$ ed uno è l'identità;
Potremmo avere un sottogruppo di un singolo elemento, ovvero contenente solo $f^2$ ed $f^3$
Potremmo avere un sottogruppo composto da che ti devo dire ${f^1,f^2}$ o ${f^2,f^3}$.
Quindi abbimo 2 possibili sottogruppi banali, $f,id$;
Poi abbiamo 2 possibili sottogruppi di due elmenti;
Ovvero abbiamo 4 possibili sottogruppi.. o no?
"Paolo90":
Penso Neptune si riferisca al teorema di Lagrange.
Sì, Neptune, esiste una "regola" (che appunto si chiama th. di Lagrange) che dice che, dato un gruppo $G$ di ordine $g$, l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di $g$.
Quindi, un gruppo di ordine 4 può avere un sottogruppo di ordine 1, uno di ordine 2 e uno di ordine 4. Nota che ho detto "può": infatti, Lagrange non dice nulla circa l'esistenza di detti sottogruppi; dice che se esistono allora hanno come ordine un divisore di $g$.
Prova a rispondere a questa semplice domanda, per vedere se hai capito: un gruppo di ordine $1325$ può avere un sottogruppo di ordine $2$?
Riguardando il teorema di lagrange sugli appunti ho che:
Se ho un gruppo finito di cardinalità $n$ allora la cardinalità di ogni suo sottogruppo sarà divisore di $n$;
Poi ho anche il teorema inverso di lagrange, che invece vale solo per i gruppi ciclici, che dice:
Ovvero che se un gruppo e ciclico allora vige anche la proprietà inversa a quella sopra descritta ovvero:
$AA m in NN$ con $m|n$
esiste un solo sottogruppo t.c la sua cardinalità sia $m$
Quindi possiamo affermare, per lagrange, che ogni gruppo potrà avere sottogruppi con cardinalità pari ad un divisore della sua; Mentre per il teorema inverso, se un gruppo e ciclico possiamo affermare che non esistono piu sottogruppi diversi con la stessa cardinalità?
ma, come ho già proposto nel caso specificio, di cardinalità 2, non abbiamo comunque i sottogruppi:
${f^1,f^2},{f^2,f^3}$ come anche, ora che ci penso ${f^1,f^3}$ ? cosa c'è "di sbagliato" in questi sottogruppi? benchè effettivamente sarebbe piu utile vedere ogni elemento com'è composto per capirlo al meglio.
Stando ai miei conti $f^2=(23)(67)$ e $f^3=(15)(2637)$: se fai $f^2 circ f^3$ trovi $f$.
Quindi non può esistere un sottogruppo con solo $f^2$ e $f^3$: non avresti la stabilità, visto che il loro composto non sta lì dentro.
Fai attenzione: non tutte le combinazioni di elementi del gruppo formano un sottogruppo!
Quindi non può esistere un sottogruppo con solo $f^2$ e $f^3$: non avresti la stabilità, visto che il loro composto non sta lì dentro.
Fai attenzione: non tutte le combinazioni di elementi del gruppo formano un sottogruppo!
D'altra parte quel gruppo $$ è ciclico per la sua stessa costruzione e di ordine quattro, quindi è isomorfo a $ZZ_4$ (puoi anche determinare l'isomorfismo: mandi $f^i$ nella classe individuata da $i$).
Quindi, $f^2 circ f^3$ è come fare $2+3=5=1$ in $ZZ_4$.
E infatti ${2,3}$ non è un sottogruppo di $ZZ_4$.
Quindi, $f^2 circ f^3$ è come fare $2+3=5=1$ in $ZZ_4$.
E infatti ${2,3}$ non è un sottogruppo di $ZZ_4$.
"Neptune":
$h_1=f$ ovvero dei sottogruppi "Banali" di cui uno è "lo stesso $f$ ed uno è l'identità;
Di banale c'é solo l'identità. L'altro si dice improprio. Ti conviene abituarti a chiamarli così altrimenti non capirai quando si parla di sottogruppo propri non banale e simili... id non è molto usato (perché è composto da 2 lettere). E' preferibile l'uso della lettera [tex]e[/tex] o di [tex]1[/tex].
"Neptune":No, affatto. L'unico sottogruppo di un solo elemento è l'identità. Perché se il sottogruppo generato da un elemento [tex]g[/tex] è [tex]\{g\}[/tex] allora [tex]g^2 = g \rightarrow g=e[/tex]
Potremmo avere un sottogruppo di un singolo elemento, ovvero contenente solo $f^2$ ed $f^3$
"Neptune":
Potremmo avere un sottogruppo composto da che ti devo dire ${f^1,f^2}$ o ${f^2,f^3}$.
Il fatto che un sottogruppo deve contenere l'identità te lo sei dimenticato da qualche parte? Senza dubbio poi [tex]ff^2 = f^3[/tex] e dato che supponiamo che siano elementi tutti diversi..."Neptune":
Quindi abbimo 2 possibili sottogruppi banali, $f,id$;
Poi abbiamo 2 possibili sottogruppi di due elmenti;
Ovvero abbiamo 4 possibili sottogruppi.. o no?
no... affatto... Al massimo puoi dire che i possibili sottogruppi sono [tex]\langle e\rangle, \langle f\rangle, \langle f^2\rangle, \langle f^3\rangle[/tex]. E [tex]\langle e\rangle = \{e\}[/tex], [tex]\langle f\rangle = \langle f^{-1}\rangle = \langle f^3\rangle[/tex], quindi rimane [tex]\langle f^2\rangle[/tex] che è uguale a [tex]\{e, f^2\}[/tex]
Si effettivamente mi sono confuso e ho detto una cosa errata. Rivedendo alcuni esercizi avete ragione. Ovviamente si è qui per confrontarsi ed ovviamente eliminare dubbi, quindi spero non l'abbiate presa come "un offesa", ma semplicemente avevo notato "che c'era discordanza tra quello che sapevo e ciò che stava scritto".
Ad ogni modo ho fatto un esercizio riguardo $Z_13$ privato dello zero e con l'operazione moltiplicativa.
Mi trovavo infatti che la cardinalità è $12$, tutti i divisori erano $1,2,3,4,6,12$ e quindi non ho fatto altro che trovarmi degli elementi che avessero quel periodo per potermi genera dei sottogruppi con quelle cardinalità. Ovvero, in $Z_13$ privato dell'asterisco ho preso $<1>,<12>,<3>,<5>,<4>,<2>.
Poi da li facendomi le potenze riuscivo a capire qual'era il sottogruppo che ognuno di essi generava.
Invece, se volessi operare sulla permutazione da voi proposta, come detto, prendiamo i divisori del periodo di $f$ che è 4, ovvero $1,2,4$
Abbiamo 3 sottogruppi.
Quindi tutta $f$ ha ordine 4, per il punto precedente;
L'identità è l'unica che ha ordine 1;
Ma per calcolare quella con cardinalità 2, come avete fatto? cioè perchè $f^2$ ha cardinalità 2? nel senso, come avete fatto a ricavarvela? avete semplicemente fatto $f o f$ e avete visto che ha periodo 2? o c'è una formula per ricavarlo?
P.S: Vi ho riscritto il procedimento per vedere se questa volta ho ben inteso tutto;
P.P.S: In una permutazione, ordine, cardinalità nonchè periodo, sono la stessa cosa? no? quando si utilizzano in maniera piu appropriata i tre termini?
Ad ogni modo ho fatto un esercizio riguardo $Z_13$ privato dello zero e con l'operazione moltiplicativa.
Mi trovavo infatti che la cardinalità è $12$, tutti i divisori erano $1,2,3,4,6,12$ e quindi non ho fatto altro che trovarmi degli elementi che avessero quel periodo per potermi genera dei sottogruppi con quelle cardinalità. Ovvero, in $Z_13$ privato dell'asterisco ho preso $<1>,<12>,<3>,<5>,<4>,<2>.
Poi da li facendomi le potenze riuscivo a capire qual'era il sottogruppo che ognuno di essi generava.
Invece, se volessi operare sulla permutazione da voi proposta, come detto, prendiamo i divisori del periodo di $f$ che è 4, ovvero $1,2,4$
Abbiamo 3 sottogruppi.
Quindi tutta $f$ ha ordine 4, per il punto precedente;
L'identità è l'unica che ha ordine 1;
Ma per calcolare quella con cardinalità 2, come avete fatto? cioè perchè $f^2$ ha cardinalità 2? nel senso, come avete fatto a ricavarvela? avete semplicemente fatto $f o f$ e avete visto che ha periodo 2? o c'è una formula per ricavarlo?
P.S: Vi ho riscritto il procedimento per vedere se questa volta ho ben inteso tutto;
P.P.S: In una permutazione, ordine, cardinalità nonchè periodo, sono la stessa cosa? no? quando si utilizzano in maniera piu appropriata i tre termini?
Beh, esiste un isomorfismo tra quel sottogruppo e [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] con la somma.
"vict85":
Beh, esiste un isomorfismo tra quel sottogruppo e [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] con la somma.
Questo perchè? ogni gruppo ciclo è isomorfo ad un gruppo $(ZZ_4,+)$ ?
In piu ho trovato un esercizio svolto sulle permutazioni di $S_3$ ovvero le permutazioni sul gruppo ${1,2,3}$.
Nel vedere i sottogruppi, nel creare il gruppo di cardinalità $2$ dice "essendo $2$ primo allora i sottogruppi (sono piu di uno) sono ciclici e sono generati da un elemento di periodo 2".
Cosa significa? cioè se si parla di permutazioni non si parla già di gruppi ciclici? al massimo "a cicli disgiunti"?
Perchè dovrebbero esserci piu di due gruppi di periodo $2$ ? per lagrange non dovrebbe essere solo uno?
"Neptune":
[quote="vict85"]Beh, esiste un isomorfismo tra quel sottogruppo e [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] con la somma.
Questo perchè? ogni gruppo ciclo è isomorfo ad un gruppo $(ZZ_4,+)$ ?
[/quote]
Esistono - a meno di isomorfismi - solo due gruppi di ordine 4.
Uno è per l'appunto quello ciclico (il modello è $ZZ_4$), l'altro è il trirettangolo (anche noto come gruppo di Klein, mi pare).
Inoltre, tutti i gruppi ciclici con lo stesso ordine sono isomorfi.
E riguardo alla seconda affermazione? non riesco davvero a trarne il senso. Sarà che è giusto "un appunto" e fuori dal contesto non riesco a capirlo.
Occhio.
Mi sa che stai confondendo il concetto di gruppo ciclico con i gruppi simmetrici. Riguardati un attimo la teoria con calma.
Mi sa che stai confondendo il concetto di gruppo ciclico con i gruppi simmetrici. Riguardati un attimo la teoria con calma.
"Paolo90":
Occhio.
Mi sa che stai confondendo il concetto di gruppo ciclico con i gruppi simmetrici. Riguardati un attimo la teoria con calma.
Quindi dici che non ha senso quella frase?
Questa frase secondo me non ha senso:
Un conto è $S_n$, il gruppo delle permutazioni di $n$ elementi (e a questo si può riferire la locuzione "a cicli disgiunti").
Tutta un'altra questione sono i gruppi ciclici (quelli in cui esiste un elemento che "genera" il gruppo).
"Neptune":
se si parla di permutazioni non si parla già di gruppi ciclici? al massimo "a cicli disgiunti"?
Un conto è $S_n$, il gruppo delle permutazioni di $n$ elementi (e a questo si può riferire la locuzione "a cicli disgiunti").
Tutta un'altra questione sono i gruppi ciclici (quelli in cui esiste un elemento che "genera" il gruppo).
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