Sottogruppo abeliano

[Amartya]

Cari amici.

Ho un problema che non riesco a risolvere; ho un gruppo $G$ di ordine $64$ e so che il suo centro $Z(G)$ ha ordine $32$, sia dato adesso un sottogruppo $H$ di ordine $16$ devo dimostrare che in $H$ esiste un sottogruppo abeliano di ordine $8$.

L'esistenza del sottogruppo di ordine $8$ è garantita da Sylov, infatti il gruppo $G$ ha ordine $2^6$ e quindi ha sottogruppi per ogni $2^(6-n)$, per dimostrare che invece sia abeliano ricorro al fatto che nel sottogruppo di ordine $8$ i suoi sottogruppi sono tutti normali.
Il fatto che il sottogruppo di ordine $4$ sia normale è banale e discende dal fatto che ha indice $2$ e $2$ è il primo più piccolo che divide $8$(in questo caso è anche l'unico), ma non riesco a mostre che anche il sottogruppo di ordine $2$ è normale.

Come potrei fare?

Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ti faccio solo osservare che il centro [tex]Z[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] di ordine [tex]64[/tex] non può avere ordine [tex]32[/tex], infatti il centralizzante di un elemento [tex]g \in G-Z[/tex] contiene propriamente il centro, che ha indice 2, quindi tale centralizzante è [tex]G[/tex], quindi [tex]g \in Z[/tex], assurdo.

Per quanto riguarda i tuoi dubbi, l'idea per produrre un sottogruppo abeliano di [tex]H \leq G[/tex] è intersecarlo col centro di [tex]G[/tex].

[Amartya]

"Martino":Ti faccio solo osservare che il centro [tex]Z[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] di ordine [tex]64[/tex] non può avere ordine [tex]32[/tex], infatti il centralizzante di un elemento [tex]g \in G-Z[/tex] contiene propriamente il centro, che ha indice 2, quindi tale centralizzante è [tex]G[/tex], quindi [tex]g \in Z[/tex], assurdo.

Per quanto riguarda i tuoi dubbi, l'idea per produrre un sottogruppo abeliano di [tex]H \leq G[/tex] è intersecarlo col centro di [tex]G[/tex].

Scusatemi

Errore di riporto il centro ha ordine $2$

Mai sentito questo procedimento per vedere se è abeliano, però mi piace.

Quindi se il centro ha ordine $2$ e il sottogruppo ha ordine $8$, l'intersezione ha ordine $8$ dovendo contenere entrambi, ma questo come si lega al fatto che quindi il sottogruppo di ordin $8$ è abeliano?


Grazie

[mistake89]

Ci sto pensando anche io a questo problema perchè non ne ho mai fatti di questo tipo. Non sono ancora giunto ad una soluzione soddisfacente, tuttavia

Sapiamo che essendo $H$ un $2$-gruppo ammetterà un sottogruppo ad ogni divisore dell'ordine, quindi in particolare esiste un $K$ sottogruppo di ordine $4$, che sappiamo essere abeliano.
Considero allora il gruppo prodotto diretto $Z \times K$ che ha ordine $(|K||Z|)=8$ e che risulterà abeliano essendolo i due fattori.

EDIT: avevo fatto un errore! Però mentre scrivo mi accorgo questo non è un sottogruppo di $H$.

Forse guardavo troppo in là?
Se prendo un gruppo $K$ di ordine $8$, che so esistere in $G$, ed in particolare in $H$ (poiché nei $p$-gruppi si hanno delle catene), allora posso considerare il sottogruppo $ZK$, che è tale poichè $Z$ è ovviamente un sottogruppo normale. Inoltre tale sottogruppo è abeliano, in quanto gli elementi sono della forma $zk$ con $z in Z, k in K$ e quindi $zk=kz$.

EDIT sparsi nello spoiler!

[Amartya]

"mistake89":
EDIT sparsi nello spoiler!

francamente non so cosa pensare circa la soluzione.

[mistake89]

Guarda questo volta, più delle altre, attendiamo conferme. Ma nel caso la soluzione dovrebbe essere la seconda e non la prima!