Sottogruppo

[melli13]

Stabilire se H è un sottogruppo del gruppo G:
a) $G=ZZxZZ$ e $H={(a,b) in ZZ^(2) | 2a=3b}$
b) $G=S_n$ e $H={\sigma in S_n | \sigma(1)=1}

Per vedere se H è un sottogruppo di G applico il criterio: se $a in H, b in H, ab^(-1)in H$ allora H è un sottogruppo di G.
Nel caso a) quindi prendo come elementi (a,b) e l'inverso di (c,d). Ma quale sarebbe l'inverso di (c,d)?Qua mi sono bloccata....
Nel caso b) invece non ho capito proprio quali sono gli elementi da prendere. E poi il sottogruppo non è quello che lascia fisso i propri elementi..?quindi corrisponde a $ZZ_n$?

[_prime_number]

Per il punto a) dipende dall'operazione che hai su $\mathbb{Z}^2$, se è $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$, allora l'inverso di $(c,d)$ è $(-c,-d)$.
Nel b) gli elementi di $H$ sono le permutazioni che lasciano fisso $1$. Ad esempio, se sei in $S_4$, $(2 3), (4 2) \in H$.

Paola

[melli13]

L'operazione del punto a) non la so...è questo il testo dell'esercizio.
Nel punto b) invece posso prendere ad esempio (23) e (24) che moltiplicati danno (234) che appartiene anch'esso a H e quindi H è un sottogruppo di G. Grazie mille...ho capito il punto b) !!!

[_prime_number]

Per il punto a) prova a risolverlo con l'operazione che ho detto io, è quella "canonica".

Paola

[melli13]

Ok grazie...lo farò così..