Sottogruppi propri gruppi ciclici

[stenford]

Scusate la domanda stupida, ma non riesco a cogliere la dimostrazione data in classe.

Presupponendo che la definizione che conosco di sottoinsieme improprio è: dato $A in B$ allora $A$ è sottoinsieme improprio se tutti gli elementi di $B$ sono in $A$.

Parto con l'enunciazione del teorema:
Ogni sottogruppo proprio $H$ di un gruppo ciclico $G$ è costituito dalle potenze di elementi del tipo $a^m$ ove $a$ è generatore di $G$ e $m$ è un'intero t.c. $!= 0,1,-1$

Dimostrazione:
Sapendo che $H=$ per un teorema già fornito, tralascio i casi per cui l'esponente $m=1, m=-1$ che li ho capiti.
Nel caso in cui $m=0$ dice : $H=<1_G > = {1_G }$ che è un sottogruppo improprio ed è assurdo.

Non capisco, perchè l'elemento neutro è un sottogruppo improprio??? Dalla definizione $G$ non è contenuto nell'elemento neutro, anzi il solo elemento neutro è un sottogruppo proprio... non capisco mi date un suggerimento?

[plesyo96]

Perchè ogni elemento di $G$ appartiene al gruppo $H$. Infatti si trova con la definizione che hai dato. Nel caso in cui $m=0 G$ è composto solo dall'elemento neuto cioè $G={a^0}$.

[stenford]

"grindelwald":Perchè ogni elemento di $G$ appartiene al gruppo $H$. Infatti si trova con la definizione che hai dato. Nel caso in cui $m=0 G$ è composto solo dall'elemento neuto cioè $G={a^0}$.

Aspetta $G$ è indipendente dall'esponente $m$ (definito per $H$) quindi non è composto solo dall'elemento neutro.

Rileggendo bene credo che per sottogruppo improprio intenda sottogruppo banale ovvero $G$ stesso o $1_G $ il che avrebbe senso con la dimostrazione data, ossia non ci si rifà alla definizione di sottoinsieme proprio/improprio.

[plesyo96]

Scusami, avevo letto velocemente e non avevo individuato il soggetto. Però credo che ci sia un nesso tra gli elementi di H e gli elementi di G, dato che G è generato da a.