Sottogruppi permutazioni
Salve, sto cercando di capire un esercizio fatto a lezione...
Ho un gruppo di permutazioni A4 e devo trovare i sottogruppi.
Potreste farmi un esempio per capire..poi cerco di andare da solo.
Ho un gruppo di permutazioni A4 e devo trovare i sottogruppi.
Potreste farmi un esempio per capire..poi cerco di andare da solo.
Risposte
Devi trovare i sottogruppi del gruppo alternante di ordine 4? Ho capito bene?
Comunque direi che dovresti partire dal fatto che è generato dall'insieme di tutti i prodotto del tipo \((ab)(cd)\) con \(a,b,c,d\) non necessariamente distinti. Insomma parti dai suoi sottogruppi ciclici, dopo di che consideri il più piccolo sottogruppo che ne contiene due e così via. Tieni conto che stai lavorando in un reticolo completo.
In ogni caso comincia a trovare i sottogruppi ciclici, dopo di che ti aiuterò a cercare gli altri.
In ogni caso (supponendo tu componga da destra a sinistra)
\(\displaystyle (12)(34) = (34)(12) \)
\(\displaystyle (13)(24) = (24)(13) \)
\(\displaystyle (14)(23) = (23)(14) \)
\(\displaystyle (12)(13) = (23)(12) = (13)(23) = (132)\)
\(\displaystyle (13)(12) = (12)(23) = (23)(13) = (123)\)
\(\displaystyle (12)(14) = (24)(12) = (14)(24) = (142)\)
\(\displaystyle (14)(12) = (12)(24) = (24)(14) = (124)\)
\(\displaystyle (13)(14) = (34)(13) = (14)(34) = (143)\)
\(\displaystyle (14)(13) = (13)(34) = (34)(14) = (134)\)
\(\displaystyle (23)(24) = (34)(23) = (24)(34) = (243)\)
\(\displaystyle (24)(23) = (23)(34) = (34)(24) = (234)\)
ovviamente ti suggerisco di controllare i calcoli. Siccome ci sono 11 generatori distinti e 12 elementi totali è evidente che in questo caso i generatori sono tutti gli elementi diversi dall'elemento neutro e quindi non ne devi cercare altri.
Comunque direi che dovresti partire dal fatto che è generato dall'insieme di tutti i prodotto del tipo \((ab)(cd)\) con \(a,b,c,d\) non necessariamente distinti. Insomma parti dai suoi sottogruppi ciclici, dopo di che consideri il più piccolo sottogruppo che ne contiene due e così via. Tieni conto che stai lavorando in un reticolo completo.
In ogni caso comincia a trovare i sottogruppi ciclici, dopo di che ti aiuterò a cercare gli altri.
In ogni caso (supponendo tu componga da destra a sinistra)
\(\displaystyle (12)(34) = (34)(12) \)
\(\displaystyle (13)(24) = (24)(13) \)
\(\displaystyle (14)(23) = (23)(14) \)
\(\displaystyle (12)(13) = (23)(12) = (13)(23) = (132)\)
\(\displaystyle (13)(12) = (12)(23) = (23)(13) = (123)\)
\(\displaystyle (12)(14) = (24)(12) = (14)(24) = (142)\)
\(\displaystyle (14)(12) = (12)(24) = (24)(14) = (124)\)
\(\displaystyle (13)(14) = (34)(13) = (14)(34) = (143)\)
\(\displaystyle (14)(13) = (13)(34) = (34)(14) = (134)\)
\(\displaystyle (23)(24) = (34)(23) = (24)(34) = (243)\)
\(\displaystyle (24)(23) = (23)(34) = (34)(24) = (234)\)
ovviamente ti suggerisco di controllare i calcoli. Siccome ci sono 11 generatori distinti e 12 elementi totali è evidente che in questo caso i generatori sono tutti gli elementi diversi dall'elemento neutro e quindi non ne devi cercare altri.
Forse non mi sono spiegato bene, anzi sicuramente, ed è perchè nemmeno io ho capito bene che cosa fa il prof in questo esercizio.
Praticamente va ad utilizzare il teorema di lagrange sulla divisibilità dell'ordine del gruppo da parte dei sottogruppi e poi utilizza anche il calcolo della parità o disparità del numero di trasposizioni.
Ad esempio dice che questo è un sottogruppo di ordine tre:
$I, (1 2 3),(1 2 4),(1 3 4),(2 3 4)$
ma non ho capito primo come ha fatto a generare quei gruppi da tre, poi non capisco la connessione con il teorema di lagrange e quello della parità.
Praticamente va ad utilizzare il teorema di lagrange sulla divisibilità dell'ordine del gruppo da parte dei sottogruppi e poi utilizza anche il calcolo della parità o disparità del numero di trasposizioni.
Ad esempio dice che questo è un sottogruppo di ordine tre:
$I, (1 2 3),(1 2 4),(1 3 4),(2 3 4)$
ma non ho capito primo come ha fatto a generare quei gruppi da tre, poi non capisco la connessione con il teorema di lagrange e quello della parità.
Quello non è un sottogruppo e non ha ordine 3. Infatti non è chiuso per moltiplicazione e neanche per inverso.
Gli elementi li vedi sopra e non era strettamente necessario nominarli. Ci sono \(12 = 24/2 = 4!/2\) elementi in \(A_4\). Questo significa che per Lagrange i sottogruppi propri possono avere ordine \(1,2,3,4\) o \(6\). Gli elementi sono, come già detto generali dai prodotti \((ab)(cd)\).
L'unico sottogruppo di ordine \(1\) è banalmente \(\{e\}\) o se preferisci \(\{I\}\) ( la \(e\) è più comune per l'identità). I sottogruppi di ordine \(\displaystyle 2 \) non possono essere trasposizioni perché le trasposizioni sono elementi dispari. D'altra parte possono essere prodotto di \(\displaystyle 2 \) o più trasposizioni disgiunte. Siccome ogni trasposizione possiede una sola trasposizione ad essa disgiunta le cose sono semplici. I sottogruppi di ordine due sono \(\displaystyle \langle (12)(34)\rangle,\, \langle (13)(24)\rangle\) e \(\displaystyle \langle (14)(23)\rangle \).
I \(\displaystyle 3 \)-cicli sono pari e quindi tutti i sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) di \(\displaystyle S_4 \) sono in \(\displaystyle A_4 \). L'inverso di un \(\displaystyle 3 \)-ciclo è un \(\displaystyle 3 \)-ciclo e il terzo elemento del sottogruppo ciclico è l'identità. Perciò si hanno i seguenti sottogruppi \(\displaystyle \langle (123)\rangle=\langle (132)\rangle,\, \langle (124)\rangle=\langle (142)\rangle,\, \langle (134)\rangle=\langle (143)\rangle\) e \(\displaystyle \langle (234)\rangle=\langle (243)\rangle \).
I sottogruppi di ordine \(\displaystyle 4 \) di \(\displaystyle A_4 \) non possono essere i \(\displaystyle 4 \)-cicli e quindi ogni altro sottogruppi di \(\displaystyle A_4 \) non può essere ciclico. Un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 4 \) non ciclico deve possedere, sempre per lagrange, tutti elementi di ordine \(\displaystyle 2 \). Perciò, essendoci solo \(\displaystyle 3 \) elementi di ordine \(\displaystyle 2 \), l'unico possibile sottogruppo è \(\displaystyle V = \{ e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \). Siccome \(\displaystyle V \) è chiuso per moltiplicazione e banalmente per inverso allora è un sottogruppo. Si noti che questo sottogruppo è anche normale (puoi controllare direttamente oppure usare il fatto che è unione di classi di coniugio).
Dato che abbiamo finito con i sottogruppi ciclici (cioè gli elementi minimali del reticolo) vediamo le loro unioni nel reticolo completo dei sottogruppi. Ora abbiamo già visto che ogni due sottogruppi di ordine \(\displaystyle 2 \) producono \(\displaystyle V \) e per Lagrange un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 4 \) e uno di ordine \(\displaystyle 3 \) non possono essere contenuti i sottogruppi di ordine minore di \(\displaystyle 12 \). Quindi la loro unione è \(\displaystyle A_4 \). Mancano quindi due sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) e un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 3 \) con uno di ordine \(\displaystyle 2 \).
Riguardo all'unione di due sottogruppi \(\displaystyle H \) e \(\displaystyle K \) di ordine \(\displaystyle 3 \) si possono usare vari modi ma il più semplice (a seconda della teoria che hai visto) è usare il fatto che \(\displaystyle \lvert HK\rvert = \lvert H \rvert\,\lvert K \rvert/\lvert H\cap K \rvert = 3\times 3 = 9 \le \lvert\langle H, K \rangle\rvert\) dove l'ultima disuguaglianza deriva dal fatto che \(HK\subseteq \langle H, K \rangle\). In ogni caso siccome i sottogruppi propri di \(\displaystyle A_4 \) hanno cardinalità al più \(\displaystyle 6 \) allora \(\displaystyle \langle H, K \rangle = A_4 \). Facendo i prodotti si vede subito.
È un po' più difficile dedurre che l'unione tra un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 2 \) e uno di ordine \(\displaystyle 3 \) è tutto \(\displaystyle A_4 \). Il modo più semplice è usare il coniugio. Il \(\displaystyle 3 \)-ciclo \(\displaystyle (abc) \) fissa l'elemento \(\displaystyle d \) come il suo inverso. Sia \(\displaystyle \sigma \in A_4\) allora \(\displaystyle \sigma (abc)\sigma^{-1} = (\sigma(a),\sigma(b),\sigma(c)) \). In particolare se \(\displaystyle \sigma \in V\) allora esisterà i\in \{a,b,c\} tale che \(\displaystyle \sigma(i) = d \). Perciò \(\displaystyle \sigma (abc)\sigma \) non fissa \(\displaystyle d \) e quindi è un \(\displaystyle 3 \)-ciclo non contenuto in \(\displaystyle \langle (abc) \rangle \) perciò \(\displaystyle \langle \sigma, (abc) \rangle \ge \langle \sigma(abc)\sigma, (abc) \rangle = A_4 \). Pertanto non esistono sottogruppi di ordine 6 e tutti i sottogruppi di \(\displaystyle A_4 \) tranne \(\displaystyle V \) sono ciclici.
Gli elementi li vedi sopra e non era strettamente necessario nominarli. Ci sono \(12 = 24/2 = 4!/2\) elementi in \(A_4\). Questo significa che per Lagrange i sottogruppi propri possono avere ordine \(1,2,3,4\) o \(6\). Gli elementi sono, come già detto generali dai prodotti \((ab)(cd)\).
L'unico sottogruppo di ordine \(1\) è banalmente \(\{e\}\) o se preferisci \(\{I\}\) ( la \(e\) è più comune per l'identità). I sottogruppi di ordine \(\displaystyle 2 \) non possono essere trasposizioni perché le trasposizioni sono elementi dispari. D'altra parte possono essere prodotto di \(\displaystyle 2 \) o più trasposizioni disgiunte. Siccome ogni trasposizione possiede una sola trasposizione ad essa disgiunta le cose sono semplici. I sottogruppi di ordine due sono \(\displaystyle \langle (12)(34)\rangle,\, \langle (13)(24)\rangle\) e \(\displaystyle \langle (14)(23)\rangle \).
I \(\displaystyle 3 \)-cicli sono pari e quindi tutti i sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) di \(\displaystyle S_4 \) sono in \(\displaystyle A_4 \). L'inverso di un \(\displaystyle 3 \)-ciclo è un \(\displaystyle 3 \)-ciclo e il terzo elemento del sottogruppo ciclico è l'identità. Perciò si hanno i seguenti sottogruppi \(\displaystyle \langle (123)\rangle=\langle (132)\rangle,\, \langle (124)\rangle=\langle (142)\rangle,\, \langle (134)\rangle=\langle (143)\rangle\) e \(\displaystyle \langle (234)\rangle=\langle (243)\rangle \).
I sottogruppi di ordine \(\displaystyle 4 \) di \(\displaystyle A_4 \) non possono essere i \(\displaystyle 4 \)-cicli e quindi ogni altro sottogruppi di \(\displaystyle A_4 \) non può essere ciclico. Un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 4 \) non ciclico deve possedere, sempre per lagrange, tutti elementi di ordine \(\displaystyle 2 \). Perciò, essendoci solo \(\displaystyle 3 \) elementi di ordine \(\displaystyle 2 \), l'unico possibile sottogruppo è \(\displaystyle V = \{ e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \). Siccome \(\displaystyle V \) è chiuso per moltiplicazione e banalmente per inverso allora è un sottogruppo. Si noti che questo sottogruppo è anche normale (puoi controllare direttamente oppure usare il fatto che è unione di classi di coniugio).
Dato che abbiamo finito con i sottogruppi ciclici (cioè gli elementi minimali del reticolo) vediamo le loro unioni nel reticolo completo dei sottogruppi. Ora abbiamo già visto che ogni due sottogruppi di ordine \(\displaystyle 2 \) producono \(\displaystyle V \) e per Lagrange un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 4 \) e uno di ordine \(\displaystyle 3 \) non possono essere contenuti i sottogruppi di ordine minore di \(\displaystyle 12 \). Quindi la loro unione è \(\displaystyle A_4 \). Mancano quindi due sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) e un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 3 \) con uno di ordine \(\displaystyle 2 \).
Riguardo all'unione di due sottogruppi \(\displaystyle H \) e \(\displaystyle K \) di ordine \(\displaystyle 3 \) si possono usare vari modi ma il più semplice (a seconda della teoria che hai visto) è usare il fatto che \(\displaystyle \lvert HK\rvert = \lvert H \rvert\,\lvert K \rvert/\lvert H\cap K \rvert = 3\times 3 = 9 \le \lvert\langle H, K \rangle\rvert\) dove l'ultima disuguaglianza deriva dal fatto che \(HK\subseteq \langle H, K \rangle\). In ogni caso siccome i sottogruppi propri di \(\displaystyle A_4 \) hanno cardinalità al più \(\displaystyle 6 \) allora \(\displaystyle \langle H, K \rangle = A_4 \). Facendo i prodotti si vede subito.
È un po' più difficile dedurre che l'unione tra un sottogruppo di ordine \(\displaystyle 2 \) e uno di ordine \(\displaystyle 3 \) è tutto \(\displaystyle A_4 \). Il modo più semplice è usare il coniugio. Il \(\displaystyle 3 \)-ciclo \(\displaystyle (abc) \) fissa l'elemento \(\displaystyle d \) come il suo inverso. Sia \(\displaystyle \sigma \in A_4\) allora \(\displaystyle \sigma (abc)\sigma^{-1} = (\sigma(a),\sigma(b),\sigma(c)) \). In particolare se \(\displaystyle \sigma \in V\) allora esisterà i\in \{a,b,c\} tale che \(\displaystyle \sigma(i) = d \). Perciò \(\displaystyle \sigma (abc)\sigma \) non fissa \(\displaystyle d \) e quindi è un \(\displaystyle 3 \)-ciclo non contenuto in \(\displaystyle \langle (abc) \rangle \) perciò \(\displaystyle \langle \sigma, (abc) \rangle \ge \langle \sigma(abc)\sigma, (abc) \rangle = A_4 \). Pertanto non esistono sottogruppi di ordine 6 e tutti i sottogruppi di \(\displaystyle A_4 \) tranne \(\displaystyle V \) sono ciclici.
Grazie per l'ottima spiegazione, una cosa tra le tante che non ho capito:
perchè gli elementi sono generati dai prodotti $(ab)(cd)$?
perchè gli elementi sono generati dai prodotti $(ab)(cd)$?
Perché \(A_4\) è l'insieme delle permutazioni pari e una permutazione pari è prodotto di un numero pari di trasposizioni. Quindi si raggruppi il prodotto a due a due hai quei prodotti lì. Nota che \(a,b,c,d\) non sono supposti distinti. Tra l'altro in questo caso è banale perché ogni elemento può essere scritto come prodotto di due \(2\)-cicli quindi è praticamente come dire che un gruppo è generato da tutti i suoi elementi.
Si poteva anche dire che era generato dai 3-cicli. Infatti \((acb)(acd) = (ab)(cd)\) (nota che in questo caso \(a,b,c,d\) sono distinti).
Si poteva anche dire che era generato dai 3-cicli. Infatti \((acb)(acd) = (ab)(cd)\) (nota che in questo caso \(a,b,c,d\) sono distinti).
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