Sottogruppi normali(2)
Buona sera ragazzi....sto trovando quialche difficoltà con i sottogruppi normali.
Se mi si chiede di trovare tutti i sottogruppi normali del gruppo diedrale $D_4$ come faccio...?Devo trovare tutti i sottogruppi e poi vedere se sono normali..?
Se mi si chiede di trovare tutti i sottogruppi normali del gruppo diedrale $D_4$ come faccio...?Devo trovare tutti i sottogruppi e poi vedere se sono normali..?
Risposte
Un sottogruppo l'ho trovato.
Teorema: sia G un gruppo e sia H un sottogruppo di G con indice [G : H] uguale a 2. Allora H è un sottogruppo normale di G.
In base a questo teorma scelgo $H={1,\varphi, \varphi^(2),\varphi^(3)}$ il sottogruppo delle rotazioni in modo che $[G]=2$ e quindi H è normale.
Ora vorrei sapere se ce ne sono altri e come si fa a capirlo....
Teorema: sia G un gruppo e sia H un sottogruppo di G con indice [G : H] uguale a 2. Allora H è un sottogruppo normale di G.
In base a questo teorma scelgo $H={1,\varphi, \varphi^(2),\varphi^(3)}$ il sottogruppo delle rotazioni in modo che $[G]=2$ e quindi H è normale.
Ora vorrei sapere se ce ne sono altri e come si fa a capirlo....
Un altro sottogruppo normale da cercare è il centro di \(D_4\)!
P.S.: Ma con \(D_4\) indichi il IV gruppo diedrale, ovvero il gruppo delle simmetrie dell'ottagono regolare?
P.S.: Ma con \(D_4\) indichi il IV gruppo diedrale, ovvero il gruppo delle simmetrie dell'ottagono regolare?
Penso che indichi le simmetrie di un rettangolo!
In effetti, non ci ho pensato molto a quel sottogruppo \(H\)! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Indico le simmetrie di un quadrato. E quindi solo questi due sottogruppi normali ci sono...?grazie per aver risposto.
Cioè $|D_4|=4$? In tal caso questo gruppo sarà isomorfo a $ZZ_4$ o a $ZZ_2 \times ZZ_2$ che sono gruppi abeliani.
I loro sottogruppi normali coincidono con i loro sottogruppi, quindi ti basterà stabilire a quale dei due è isomorfo ed hai finito.
I loro sottogruppi normali coincidono con i loro sottogruppi, quindi ti basterà stabilire a quale dei due è isomorfo ed hai finito.
No no mistake, se applichi il teorema di Lagrange mediante \(H\) ottieni che \(|D_4|=|H|\cdot|D_4:H|=8\)!
Il solito problema notazionale dei gruppi diedrali finiti. -_- (L'unica cosa che non mi piace di questa famiglia di gruppi.
)
melli comunque non hai finito!
Dove ti vuoi avviare? 
Il solito problema notazionale dei gruppi diedrali finiti. -_- (L'unica cosa che non mi piace di questa famiglia di gruppi.
)melli comunque non hai finito!
Dove ti vuoi avviare?
Si giusto j18eos...
! $|D_4|=8$. Scusate ma non sapevo dell'ambiguità di notazione...io conosco solo un tipo di gruppi diedrali per cui $|D_n|=2n$ ed è il gruppo dei movimenti rigidi che mutano in sè un poligono regolare di n lati.
$D_4=<\varphi, \rho>$= ${1,\varphi, \varphi^(2), \varphi^(3), \rho, \varphi*\rho, \varphi^(2)*\rho, \varphi^(3)*\rho}$
Quindi abbiamo detto che il sottogruppo delle rotazioni $H={1,\varphi, \varphi^(2), \varphi^(3)}$ è sottogruppo normale di $D_4$.
Anche il sottogruppo del centro, che però non riesco a trovare...
. A me sembrerebbe isomorfo al sottogruppo con solo l'elemento neutro, ma non ne sono così sicura.
E poi cos'altro c'è..?
tu come fai a capire che non abbiamo finito...?insegnami i trucchi del mestiere 
! $|D_4|=8$. Scusate ma non sapevo dell'ambiguità di notazione...io conosco solo un tipo di gruppi diedrali per cui $|D_n|=2n$ ed è il gruppo dei movimenti rigidi che mutano in sè un poligono regolare di n lati.$D_4=<\varphi, \rho>$= ${1,\varphi, \varphi^(2), \varphi^(3), \rho, \varphi*\rho, \varphi^(2)*\rho, \varphi^(3)*\rho}$
Quindi abbiamo detto che il sottogruppo delle rotazioni $H={1,\varphi, \varphi^(2), \varphi^(3)}$ è sottogruppo normale di $D_4$.
Anche il sottogruppo del centro, che però non riesco a trovare...
. A me sembrerebbe isomorfo al sottogruppo con solo l'elemento neutro, ma non ne sono così sicura.E poi cos'altro c'è..?
tu come fai a capire che non abbiamo finito...?insegnami i trucchi del mestiere
Ho analizzato anche un altro sottogruppo, quello delle simmetrie. $K={1,\rho}$ che però a me non pare normale, in quanto:
$gKg^(-1) = K \Rightarrow \varphi*K*\varphi^(-1)=\varphi*K*\varphi^(3)\ne K$. Giusto?
$gKg^(-1) = K \Rightarrow \varphi*K*\varphi^(-1)=\varphi*K*\varphi^(3)\ne K$. Giusto?
Perfetto. Anche io sono abituato $|D_n|=2n$, ma qui sul forum ho scoperto che alle volte $|D_n|=n$.
Il centro di un gruppo diedrale di ordine $n$ è dato da ${id, sigma^(n/2)}$ se $n$ è pari, altrimenti è banale.
Comunque guarda qui http://www.dm.unibo.it/~verardi/gruppoD4.pdf
Il centro di un gruppo diedrale di ordine $n$ è dato da ${id, sigma^(n/2)}$ se $n$ è pari, altrimenti è banale.
Comunque guarda qui http://www.dm.unibo.it/~verardi/gruppoD4.pdf
Allora lo terrò presente..!
Grazie mille per il link....hai sciolto tutti i miei dubbi...
PS ma per trovare tutti i sottogruppi normali di un gruppo dobbiamo prima trovare tutti i suoi sottogruppi e poi verificare chi è normale e chi no?
!Grazie mille per il link....hai sciolto tutti i miei dubbi...
PS ma per trovare tutti i sottogruppi normali di un gruppo dobbiamo prima trovare tutti i suoi sottogruppi e poi verificare chi è normale e chi no?
In qualche modo possono essere sfruttati i teoremi diSylow? Perchè quello risulterebbe un 2-gruppo!
Non so...non li ho studiati....
melli Non è facile (in generale) trovare i sottogruppi di un gruppo, figurati la ricerca dei sottogruppi normali.
Poi la struttura di \(D_4\) (con \(8\) elementi) la calcolai a mano, cioè sfruttando la sua non abelianità e chi sono i gruppi di ordine \(4\).
Mrhaha Se ci fai caso \(D_4\) è un \(2\)-gruppo per cui...
Poi la struttura di \(D_4\) (con \(8\) elementi) la calcolai a mano, cioè sfruttando la sua non abelianità e chi sono i gruppi di ordine \(4\).
Mrhaha Se ci fai caso \(D_4\) è un \(2\)-gruppo per cui...
Chiamiamo [tex]H[/tex] il sottogruppo generato da una rotazione di 90 gradi (e' normale), e [tex]Z[/tex] il sottogruppo generato dalla rotazione di 180 gradi. [tex]Z[/tex] e' il centro di [tex]G[/tex], e [tex]G/Z \cong C_2 \times C_2[/tex]. Per il teorema di corrispondenza i sottogruppi normali di [tex]G[/tex] contenenti [tex]Z[/tex] corrispondono biiettivamente (e canonicamente) ai sottogruppi normali di [tex]G/Z[/tex]. Quindi per ora abbiamo trovato sei sottogruppi normali di [tex]G[/tex] (i due banali, e i quattro propri contenenti Z).
L'idea e' dimostrare che non ce ne sono altri. Si tratta quindi di mostrare che ogni sottogruppo normale non banale di [tex]G[/tex] contiene [tex]Z[/tex]. Se esistesse un sottogruppo normale non banale [tex]N[/tex] di [tex]G[/tex] non contenente [tex]Z[/tex] allora si avrebbe [tex]N \cap H = \{1\}[/tex] (e' facile vederlo), quindi [tex]NH[/tex] dev'essere uguale a [tex]G[/tex] (per questioni di cardinalita') e questo e' assurdo perche' [tex]NH \cong N \times H[/tex] e' abeliano.
L'idea e' dimostrare che non ce ne sono altri. Si tratta quindi di mostrare che ogni sottogruppo normale non banale di [tex]G[/tex] contiene [tex]Z[/tex]. Se esistesse un sottogruppo normale non banale [tex]N[/tex] di [tex]G[/tex] non contenente [tex]Z[/tex] allora si avrebbe [tex]N \cap H = \{1\}[/tex] (e' facile vederlo), quindi [tex]NH[/tex] dev'essere uguale a [tex]G[/tex] (per questioni di cardinalita') e questo e' assurdo perche' [tex]NH \cong N \times H[/tex] e' abeliano.
Grazie j18eos
Martino, complimenti! Mi domando se un giorno diventerò come te..!Grazie mille.
Martino, complimenti! Mi domando se un giorno diventerò come te..
!Grazie mille.
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