Sottogruppi normali - omomorfismi
Ho una domanda riguardante la teoria dei gruppi:
- Donde deriva il fatto che ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo?
Credo che, siccome si dimostra che si può quozientare con un sottogruppo normale [tex]H[/tex] ottenendo un insieme (l'insieme di tutti i laterali del sottogruppo normale) che ha la struttura di gruppo, posso definire una funzione [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex] che manda [tex]$x$[/tex] nella classe [tex]$x H$[/tex]. Il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] è dunque il sottogruppo normale. E' corretto? Se sì, qualcuno può illuminarmi sull'utilità di questo omomorfismo?
Sto cercando di orientarmi.
- Donde deriva il fatto che ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo?
Credo che, siccome si dimostra che si può quozientare con un sottogruppo normale [tex]H[/tex] ottenendo un insieme (l'insieme di tutti i laterali del sottogruppo normale) che ha la struttura di gruppo, posso definire una funzione [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex] che manda [tex]$x$[/tex] nella classe [tex]$x H$[/tex]. Il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] è dunque il sottogruppo normale. E' corretto? Se sì, qualcuno può illuminarmi sull'utilità di questo omomorfismo?
Sto cercando di orientarmi.
Risposte
Semplicemente dal fatto che la relazione di appartenenza ad un laterale è compatibile con la la moltiplicazione. Cioè ricavi che $aHbH = abH$.
"vict85":
Semplicemente dal fatto che la relazione di appartenenza ad un laterale è compatibile con la la moltiplicazione. Cioè ricavi che $aHbH = abH$.
Puoi controllare che sotto la domanda non abbia scritto fesserie? Grazie.
"Seneca":
Ho una domanda riguardante la teoria dei gruppi:
- Donde deriva il fatto che ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo?
Credo che, siccome si dimostra che si può quozientare con un sottogruppo normale [tex]H[/tex] ottenendo un insieme (l'insieme di tutti i laterali del sottogruppo normale) che ha la struttura di gruppo, posso definire una funzione [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex] che manda [tex]$x$[/tex] nella classe [tex]$x H$[/tex]. Il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] è dunque il sottogruppo normale. E' corretto? Se sì, qualcuno può illuminarmi sull'utilità di questo omomorfismo?
Sto cercando di orientarmi.
I sottogruppi normali di un sottogruppo $G$ sono tutti e soli i nuclei di omomorfismi che hanno come dominio $G$.
Questo fatto si dimostra così: una direzione è semplice, dato un omomorfismo $f:G to H$ è immediato verificare che il nucleo è normale in $G$.
Viceversa, il sottogruppo risulta sempre il nucleo della proiezione canonica sul quoziente, appunto il morfismo suriettivo definito da [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex].
Ok?
"Paolo90":
Viceversa, il sottogruppo risulta sempre il nucleo della proiezione canonica sul quoziente, appunto il morfismo suriettivo definito da [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex].
Ok?
Perfetto, quindi quello a cui accennavo io?
Sì, esattamente.
Grazie Paolo.
"Paolo90":
[quote="Seneca"]Ho una domanda riguardante la teoria dei gruppi:
- Donde deriva il fatto che ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo?
Credo che, siccome si dimostra che si può quozientare con un sottogruppo normale [tex]H[/tex] ottenendo un insieme (l'insieme di tutti i laterali del sottogruppo normale) che ha la struttura di gruppo, posso definire una funzione [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex] che manda [tex]$x$[/tex] nella classe [tex]$x H$[/tex]. Il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] è dunque il sottogruppo normale. E' corretto? Se sì, qualcuno può illuminarmi sull'utilità di questo omomorfismo?
Sto cercando di orientarmi.
I sottogruppi normali di un sottogruppo $G$ sono tutti e soli i nuclei di omomorfismi che hanno come dominio $G$.
Questo fatto si dimostra così: una direzione è semplice, dato un omomorfismo $f:G to H$ è immediato verificare che il nucleo è normale in $G$.
Viceversa, il sottogruppo risulta sempre il nucleo della proiezione canonica sul quoziente, appunto il morfismo suriettivo definito da [tex]$\phi : G \rightarrow G/H$[/tex].
Ok?
[/quote]Non basta dire che una cosa è un morfismo suriettivo perché lo sia. Devi anche dimostrare che è un morfismo (la suriettività è abbastanza banale). Altrimenti stai dicendo che è il nucleo di un morfismo perché è il nucleo di un particolare morfismo (senza però hai dimostrato che è un morfismo).
"vict85":
Non basta dire che una cosa è un morfismo suriettivo perché lo sia. Devi anche dimostrare che è un morfismo (la suriettività è abbastanza banale). Altrimenti stai dicendo che è il nucleo di un morfismo perché è il nucleo di un particolare morfismo (senza però hai dimostrato che è un morfismo).
Sì, va bene, d'accordo, ma non avevo il tempo per mettermi a scrivere tutte le verifiche per mostrare che fosse un omomorfismo di gruppi (e penso che Seneca sappia provare autonomamente che quella mappa sia un morfismo).
"Paolo90":
[quote="vict85"]Non basta dire che una cosa è un morfismo suriettivo perché lo sia. Devi anche dimostrare che è un morfismo (la suriettività è abbastanza banale). Altrimenti stai dicendo che è il nucleo di un morfismo perché è il nucleo di un particolare morfismo (senza però hai dimostrato che è un morfismo).
Sì, va bene, d'accordo, ma non avevo il tempo per mettermi a scrivere tutte le verifiche per mostrare che fosse un omomorfismo di gruppi (e penso che Seneca sappia provare autonomamente che quella mappa sia un morfismo).[/quote]
Immagino di si. E nel caso è meglio se ci prova lui dato che per noi è una cosa che sappiamo fare facilmente.
Sì, mi è chiaro che ciò sia da dimostrare.
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