Sottogruppi normali di $A_4$
Devo trovare i sottogruppi normali di $A_4$ usando le classi di coniugio.
Ho trovato 4 classi:
Cl(id)={id};
Cl((123))={(123),(243),(134),(142)} ;
Cl((132))={(132),(234),(143),(124)} ;
Cl((12)(34))={(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
come faccio a trovare i sottogruppi normali?
Ho trovato 4 classi:
Cl(id)={id};
Cl((123))={(123),(243),(134),(142)} ;
Cl((132))={(132),(234),(143),(124)} ;
Cl((12)(34))={(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
come faccio a trovare i sottogruppi normali?
Risposte
Un sottogruppo normale è unione di classi di coniugio. Quindi fai tutte le unioni possibili di quelle quattro classi. Quelli degli insiemi che ottieni che sono sottogruppi sono sottogruppi normali.
Per esempio osserva che l'unione delle prime due delle classi che hai scritto ha 5 elementi quindi non è un sottogruppo, questo per il teorema di Lagrange, infatti 5 non divide $|A_4|=12$.
Per esempio osserva che l'unione delle prime due delle classi che hai scritto ha 5 elementi quindi non è un sottogruppo, questo per il teorema di Lagrange, infatti 5 non divide $|A_4|=12$.
Nota che ogni sottogruppo contiene l'identità. Quindi in realtà hai solo \(1 + 3 + 3 + 1 = 8\) possibilità, \(6\) se consideri solo i sottogruppi propri non banali.
|N| divide 12 quindi le possibilità sono 1,2,3,4,6,12
il sottogruppo di ordine 1 è dato da Cl((id))={id}
il sottogruppo di ordine 12 è dato dall'unione delle 4 classi ed è $A_4$ stesso.
Questi sono i due sottogruppi banali.
Se considero l'unione delle due classi Cl((id)) U Cl((12)(34))={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} di ordine 4
Così anche di ordine 4 sono le classi Cl((123)) e Cl((132)) mentre di ordine 3 la classe Cl((12)(34))
il sottogruppo di ordine 1 è dato da Cl((id))={id}
il sottogruppo di ordine 12 è dato dall'unione delle 4 classi ed è $A_4$ stesso.
Questi sono i due sottogruppi banali.
Se considero l'unione delle due classi Cl((id)) U Cl((12)(34))={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} di ordine 4
Così anche di ordine 4 sono le classi Cl((123)) e Cl((132)) mentre di ordine 3 la classe Cl((12)(34))
è giusto?
No, non basta che il numero di elementi non divida 12, un sottogruppo deve contenere 1 e deve essere chiuso per moltiplicazione.
il sottogruppo di ordine 1 è dato da Cl((id))={id}
il sottogruppo di ordine 12 è dato dall'unione delle 4 classi ed è $A_4$ stesso.
Questi sono i due sottogruppi banali.
Se considero l'unione delle due classi Cl((id)) U Cl((12)(34))={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} ho un sottogruppo normale di ordine 4
Fin qui il ragionamento è giusto?
il sottogruppo di ordine 12 è dato dall'unione delle 4 classi ed è $A_4$ stesso.
Questi sono i due sottogruppi banali.
Se considero l'unione delle due classi Cl((id)) U Cl((12)(34))={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} ho un sottogruppo normale di ordine 4
Fin qui il ragionamento è giusto?
Sì ma devi giustificare il fatto che quell'insieme con 4 elementi è un sottogruppo. Cioè devi mostrare che è chiuso rispetto al prodotto e che contiene gli inversi dei suoi elementi.
chiuso rispetto al prodotto: id * id=id; id *(12)(34)= (12)(34) ; id * (13)(24)=(13)(24) ; id * (14)(23)=(14)(23) ;
(12)(34) * (13)(24)= (14)(23) e così via....
contiene gli inversi degli elementi perchè l'inverso di (12)(34) è lui stesso e così vale per gli altri.
Ma ci sono altri sottogruppi normali di $A_4$ oltre a quelli che ho detto?
(12)(34) * (13)(24)= (14)(23) e così via....
contiene gli inversi degli elementi perchè l'inverso di (12)(34) è lui stesso e così vale per gli altri.
Ma ci sono altri sottogruppi normali di $A_4$ oltre a quelli che ho detto?
No; li hai trovati tutti.
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