Sottogruppi normali
Salve a tutti!!
Sono allo studio di alcuni teoremi, ma mi trovo in difficoltà a capire alcuni passaggi. Vorrei sapere se:
1) esiste un legame tra sottogruppi normali e isomorfismo tra gruppi quoziente;
2) esiste un legame tra isomorfismo di gruppi e gruppo abeliano, cioè se considero un'applicazione tra un gruppo T e un altro gruppo e dimostro che questa applicazione è un isomorfismo di gruppi in che modo posso affermare che il gruppo T è abeliano?
grazie!
Sono allo studio di alcuni teoremi, ma mi trovo in difficoltà a capire alcuni passaggi. Vorrei sapere se:
1) esiste un legame tra sottogruppi normali e isomorfismo tra gruppi quoziente;
2) esiste un legame tra isomorfismo di gruppi e gruppo abeliano, cioè se considero un'applicazione tra un gruppo T e un altro gruppo e dimostro che questa applicazione è un isomorfismo di gruppi in che modo posso affermare che il gruppo T è abeliano?
grazie!
Risposte
2) Se esiste un isomorfismo di gruppi tra $G$ e $G'$, queste due strutture "sono la stessa a meno di una ridenominazione degli elementi". Quindi sì, se uno è abeliano lo sarà anche l'altro.
1) Prendi $\mathbb Z$ e due sottogruppi normali $m\mathbb Z$ e $n\mathbb Z$, con $m\ne n$. Tali sottogruppi sono isomorfi, ma i quozienti no.
Viceversa, prendi il gruppo $\mathbb Z_2\times\mathbb Z$ e quozienta via $\mathbb Z_2$ e $\mathbb Z_2\times m\mathbb Z$, con $m\ne1$. I quozienti sono isomorfi, ma i gruppi normali per cui quozienti non lo sono.
Riassumendo: in generale non c'e' nessun legame fra isomorfismo dei sottogruppi normali e quello dei quozienti. Forse c'e' qualche speranza di trovare qualcosa sei gruppi sono finiti, ma non sono del tutto sicuro.
Viceversa, prendi il gruppo $\mathbb Z_2\times\mathbb Z$ e quozienta via $\mathbb Z_2$ e $\mathbb Z_2\times m\mathbb Z$, con $m\ne1$. I quozienti sono isomorfi, ma i gruppi normali per cui quozienti non lo sono.
Riassumendo: in generale non c'e' nessun legame fra isomorfismo dei sottogruppi normali e quello dei quozienti. Forse c'e' qualche speranza di trovare qualcosa sei gruppi sono finiti, ma non sono del tutto sicuro.
Però... C'è il secondo teorema di omomorfismo che dice qualcosa a proposito dei sottogruppi normali (vedi Algebra e Matematica Discreta di Alberto Facchini, pag. 201 , "Teorema di corrispondenza per i gruppi").
"Seneca":
Però... C'è il secondo teorema di omomorfismo che dice qualcosa a proposito dei sottogruppi normali (vedi Algebra e Matematica Discreta di Alberto Facchini, pag. 201 , "Teorema di corrispondenza per i gruppi").
Niente di che http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_isomorfismo
Innanzitutto GRAZIE!!
Per quanto riguarda il punto 1) ho dimostrato che:
$(T_i,+)$ sottogruppo normale di $(T,+)$, provando che il coniugato di un elemento di $T_i$ mediante un elemento di $T$ appartiene a $T_i$.
Ora, se considero tre componenti $T_i, T_j, T_h$, sapendo che $T$ è la somma di due delle tre componenti, cioè ad es. $T=T_h+T_i=T_h+T_j$, la dimostrazione prosegue affermando che in virtù del fatto che $T_i$ è sottogruppo normale di $T$, allora vale:
$((T_h+T_i))/T_h~=T_i$ e $((T_h+T_j))/T_h~=T_j$ quindi $T_i~=T_j$
E' questo che non capisco bene...
Per quanto riguarda il punto 1) ho dimostrato che:
$(T_i,+)$ sottogruppo normale di $(T,+)$, provando che il coniugato di un elemento di $T_i$ mediante un elemento di $T$ appartiene a $T_i$.
Ora, se considero tre componenti $T_i, T_j, T_h$, sapendo che $T$ è la somma di due delle tre componenti, cioè ad es. $T=T_h+T_i=T_h+T_j$, la dimostrazione prosegue affermando che in virtù del fatto che $T_i$ è sottogruppo normale di $T$, allora vale:
$((T_h+T_i))/T_h~=T_i$ e $((T_h+T_j))/T_h~=T_j$ quindi $T_i~=T_j$
E' questo che non capisco bene...
Io non capisco:
a) cosa hai dimostrato
b) cosa sono i vari $T_i$
c) cosa significa la parola "componenti"
d) di quale dimostrazione stai parlando
Consiglio: scrivi piu' chiaro e formula bene le domande di cui vorresti avere una risposta.
P.s. l'ultima serie di uguaglianze e' appunto una applicazione del secondo teorema di omomorfismo.
a) cosa hai dimostrato
b) cosa sono i vari $T_i$
c) cosa significa la parola "componenti"
d) di quale dimostrazione stai parlando
Consiglio: scrivi piu' chiaro e formula bene le domande di cui vorresti avere una risposta.
P.s. l'ultima serie di uguaglianze e' appunto una applicazione del secondo teorema di omomorfismo.
[xdom="Martino"]Sposto in Algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
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