Sottogruppi normali
Sempre dal solito Hernstein riporto alcuni esercizi (a proposito se conoscete qualche libro con esercizi sui gruppi mettetemene al corrente)
1) Se $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ tale che il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$, dimostrare che $H$ è normale in $G$.
2) Se $G$ è un gruppo e $H$ un sottogruppo di indice $2$ in $G$, dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
3) Dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi normali di $G$ è un sottogruppo normale di $G$.
4) Se $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$, dimostrare che anche $NM$ è un sottogruppo normale di $G$.
Allora:
1)Siano $a,b,c in G$ tali che $HaHb=Hc$ allora $EE n_1, n_2, n_3 in H$ tali che $n_1an_2b=n_3c$ $=>$ $an_2(bc^(-1))=n_1^(-1)n_3$. Preso in particolare $a=(bc^(-1))^(-1)$ si ha: $an_2a^(-1)=n_1^(-1)n_3 in H$ e pertanto per l'arbitrarietà di $a$: $aHa^(-1) sub H$, dunque $H$ è normale in $G$.
2) Poichè l'indice di $H$ in $G$ è $2$, allora esistono solo due distinti laterali destri di $H$ in $G$, pertanto $EE a,b in G$ tali che i laterali destri $Ha$ e $Hb$ sono distinti. D'altra parte $He=H$ è un laterale destro $H$ in $G$, quindi $EE a in G$ tali che i laterali destri $H$ e $Ha$ sono distinti.
So per il punto 1) che $H$ è normale in $G$ se il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$.
Infatti ho $HeHa=HHa=Ha$
Mi posso fermare qui oppure devo dimostrare che anche $HaHe=HaH$ è un laterale destro di $H$ in $G$? In questo caso non riesco a provarlo.
3) Se $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$ allora si prova facilmente che $N nn M$ è un sottogruppo di $G$.
Affinchè $N nn M$ sia normale in $G$ devo verificare che $AA a in G$ e $AA h in N nn M$ si ha $aha^(-1) in N nn M$.
Infatti ho che $h in N nn M$ con $N, M$ normali in $G$ $=> aha^(-1) in N$ e $aha^(-1) in M$, da cui $aha^(-1)in N nn M$.
4) Prima di tutto si deve provare che $NM$ è un sottogruppo di $G$, cioè che $a,b in NM$ implica che $ab^(-1) in NM$. $a,b in NM => EE n_1,n_2 in N , m_1, m_2 in M t.c. a=n_1m_1 , b=n_2m_2 => ab^(-1)=n_1m_1m_2^(-1)n_2^(-1)$. Ma $M$ normale in $G$ implica che $EE m_3 in M t.c. m_2^(-1)n_2^(-1)=n_2^(-1)m_3$ quindi $ab^(-1)=n_1m_1n_2^(-1)m_3$. $N$ normale in $G$ implica che $EE n_3 in N t.c. m_1n_2^(-1)=n_3m_1$ quindi $ab^(-1)=n_1n_3m_1m_3 in NM$.
Provo che $NM$ è normale in $G$: devo verificare che $AA g in G gNMg^(-1) sub NM$: sia $a in gNMg^(-1) => EE n in N, m in M t.c. a=gnmg^(-1)=(gng^(-1))(gmg^(-1)) in NM$ essendo $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$.
Vanno bene svolti così? Grazie per le risposte
1) Se $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ tale che il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$, dimostrare che $H$ è normale in $G$.
2) Se $G$ è un gruppo e $H$ un sottogruppo di indice $2$ in $G$, dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
3) Dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi normali di $G$ è un sottogruppo normale di $G$.
4) Se $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$, dimostrare che anche $NM$ è un sottogruppo normale di $G$.
Allora:
1)Siano $a,b,c in G$ tali che $HaHb=Hc$ allora $EE n_1, n_2, n_3 in H$ tali che $n_1an_2b=n_3c$ $=>$ $an_2(bc^(-1))=n_1^(-1)n_3$. Preso in particolare $a=(bc^(-1))^(-1)$ si ha: $an_2a^(-1)=n_1^(-1)n_3 in H$ e pertanto per l'arbitrarietà di $a$: $aHa^(-1) sub H$, dunque $H$ è normale in $G$.
2) Poichè l'indice di $H$ in $G$ è $2$, allora esistono solo due distinti laterali destri di $H$ in $G$, pertanto $EE a,b in G$ tali che i laterali destri $Ha$ e $Hb$ sono distinti. D'altra parte $He=H$ è un laterale destro $H$ in $G$, quindi $EE a in G$ tali che i laterali destri $H$ e $Ha$ sono distinti.
So per il punto 1) che $H$ è normale in $G$ se il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$.
Infatti ho $HeHa=HHa=Ha$
Mi posso fermare qui oppure devo dimostrare che anche $HaHe=HaH$ è un laterale destro di $H$ in $G$? In questo caso non riesco a provarlo.
3) Se $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$ allora si prova facilmente che $N nn M$ è un sottogruppo di $G$.
Affinchè $N nn M$ sia normale in $G$ devo verificare che $AA a in G$ e $AA h in N nn M$ si ha $aha^(-1) in N nn M$.
Infatti ho che $h in N nn M$ con $N, M$ normali in $G$ $=> aha^(-1) in N$ e $aha^(-1) in M$, da cui $aha^(-1)in N nn M$.
4) Prima di tutto si deve provare che $NM$ è un sottogruppo di $G$, cioè che $a,b in NM$ implica che $ab^(-1) in NM$. $a,b in NM => EE n_1,n_2 in N , m_1, m_2 in M t.c. a=n_1m_1 , b=n_2m_2 => ab^(-1)=n_1m_1m_2^(-1)n_2^(-1)$. Ma $M$ normale in $G$ implica che $EE m_3 in M t.c. m_2^(-1)n_2^(-1)=n_2^(-1)m_3$ quindi $ab^(-1)=n_1m_1n_2^(-1)m_3$. $N$ normale in $G$ implica che $EE n_3 in N t.c. m_1n_2^(-1)=n_3m_1$ quindi $ab^(-1)=n_1n_3m_1m_3 in NM$.
Provo che $NM$ è normale in $G$: devo verificare che $AA g in G gNMg^(-1) sub NM$: sia $a in gNMg^(-1) => EE n in N, m in M t.c. a=gnmg^(-1)=(gng^(-1))(gmg^(-1)) in NM$ essendo $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$.
Vanno bene svolti così? Grazie per le risposte
Risposte
Non ho letto tutto (mi riprometto di farlo) però così en passant ti faccio notare che la 4 si presta ad una generalizzazione.
In genere dati due sottogruppi $H,K$ di $G$ si ha che:
$HK$ è sottogruppo di $G <=> HK=KH$
In particolare questa vale se i due sono normali..
In genere dati due sottogruppi $H,K$ di $G$ si ha che:
$HK$ è sottogruppo di $G <=> HK=KH$
In particolare questa vale se i due sono normali..
"deserto":
Sempre dal solito Hernstein riporto alcuni esercizi (a proposito se conoscete qualche libro con esercizi sui gruppi mettetemene al corrente)
1) Se $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ tale che il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$, dimostrare che $H$ è normale in $G$.
1)Siano $a,b,c in G$ tali che $HaHb=Hc$ allora $EE n_1, n_2, n_3 in H$ tali che $n_1an_2b=n_3c$ $=>$ $an_2(bc^(-1))=n_1^(-1)n_3$. Preso in particolare $a=(bc^(-1))^(-1)$ si ha: $an_2a^(-1)=n_1^(-1)n_3 in H$ e pertanto per l'arbitrarietà di $a$: $aHa^(-1) sub H$, dunque $H$ è normale in $G$.
Relativamente a questo esercizio ti farei notare che $c$ non lo decidi tu e quindi non puoi dire che $a=bc^(-1)$ senza dimostrarlo. Comunque la frase corretta sarebbe che $AA n_1, n_2 in H\ \ EE n_3 in H$ tale che...
Per una soluzione ci devo pensare.
"deserto":
2) Se $G$ è un gruppo e $H$ un sottogruppo di indice $2$ in $G$, dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
2) Poichè l'indice di $H$ in $G$ è $2$, allora esistono solo due distinti laterali destri di $H$ in $G$, pertanto $EE a,b in G$ tali che i laterali destri $Ha$ e $Hb$ sono distinti. D'altra parte $He=H$ è un laterale destro $H$ in $G$, quindi $EE a in G$ tali che i laterali destri $H$ e $Ha$ sono distinti.
So per il punto 1) che $H$ è normale in $G$ se il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$.
Infatti ho $HeHa=HHa=Ha$
Mi posso fermare qui oppure devo dimostrare che anche $HaHe=HaH$ è un laterale destro di $H$ in $G$? In questo caso non riesco a provarlo.
Hai iniziato nel modo giusto ma hai perso il metodo migliore... Dimentica il problema 1...
Ci sono due laterali destri e due sinistri. Ovviamenti in entrambi uno dei due è $H$ e $aH = H$ se e solo se $a in H$. I leterali destri, come quelli sinistri sono una partizione di $G$ e quindi l'altro laterale è per entrambi il complementare di $H$. Ma questo significa che si ha che $aH = Ha$ per ogni $a in G$.
"deserto":
3) Dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi normali di $G$ è un sottogruppo normale di $G$.
3) Se $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$ allora si prova facilmente che $N nn M$ è un sottogruppo di $G$.
Affinchè $N nn M$ sia normale in $G$ devo verificare che $AA a in G$ e $AA h in N nn M$ si ha $aha^(-1) in N nn M$.
Infatti ho che $h in N nn M$ con $N, M$ normali in $G$ $=> aha^(-1) in N$ e $aha^(-1) in M$, da cui $aha^(-1)in N nn M$.
Su questo nulla da dire: è giusto.
"deserto":
4) Se $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$, dimostrare che anche $NM$ è un sottogruppo normale di $G$.
4) Prima di tutto si deve provare che $NM$ è un sottogruppo di $G$, cioè che $a,b in NM$ implica che $ab^(-1) in NM$. $a,b in NM => EE n_1,n_2 in N , m_1, m_2 in M t.c. a=n_1m_1 , b=n_2m_2 => ab^(-1)=n_1m_1m_2^(-1)n_2^(-1)$. Ma $M$ normale in $G$ implica che $EE m_3 in M t.c. m_2^(-1)n_2^(-1)=n_2^(-1)m_3$ quindi $ab^(-1)=n_1m_1n_2^(-1)m_3$. $N$ normale in $G$ implica che $EE n_3 in N t.c. m_1n_2^(-1)=n_3m_1$ quindi $ab^(-1)=n_1n_3m_1m_3 in NM$.
Provo che $NM$ è normale in $G$: devo verificare che $AA g in G gNMg^(-1) sub NM$: sia $a in gNMg^(-1) => EE n in N, m in M t.c. a=gnmg^(-1)=(gng^(-1))(gmg^(-1)) in NM$ essendo $N$ e $M$ sono sottogruppi normali di $G$.
Non è necessario che siano entrambi normali affinche $NM$ sia un sottogruppo di $G$, ma una dimostrazione alternativa non sarebbe più corta, o lo sarebbe di poco, quindi non te la scrivo. Se avessi dimostrato il teorema scritto da Gaal Dornick allora sarebbe molto più veloce.
La seconda parte è una dimostrazione abbastanza standard.
P.S: se conosci l'inglese esiste questo: Dixon, J. "Problems in Group theory".
Questo libro però è studiato per affiancare libri di teoria dei gruppi più specialistici dell'Hernstein. Quindi prima di prendere quel libro in considerazione ti consigli di fare gli esercizi sull'Hernstein e cercare di capire bene tutto il suo contenuto. Volendo sarebbe bene prendere un libro di teoria dei gruppi o andare a leggertelo in biblioteca. O almeno cercare qualche dispensa su internet.
Relativamente al primo problema ho trovato la dimostrazione.
Per prima cosa utilizzerò una definizione un po' diversa di gruppo che però è equivalente a quella usata di solito:
DEFINIZIONE
Un insieme G a cui è associata una legge di composizione (operazione) binaria è un gruppo se:
1) l'operazione è associativa cioé se $(ab)c = a(bc)$
2) esiste l'elemento neutro sinistro cioé se $EE e$ tale che $AA a in G$, $ea = a$
3) ogni elemento possiede inverso sinistro cioé se $AA a in G, quad EE a' in G$ tale che $a'a = e$
Dimostriamo che sono equivalenti o meglio che l'esistenza dell'elemento neutro e dell'inverso sinistri implicano quelli destri.
Prendiamo un $a in G$ allora esisteranno due elementi $a', a° in G$ tali che $a'a = e$ e $a°a' = e$
Quindi $aa' = e(aa') = (a°a')(aa') = a°(a'a)a' = a°a' = e$, cioé $a'$ è anche inverso destro di $a$
Inoltre $a = ea = (aa')a = a(a'a) = ae$ quindi $e$ è anche elemento neutro destro.
Ora comincio con la dimostrazione del problema (1)
Dimostriamo che l'insieme dei laterali forma un gruppo.
1) è associativo perché lo è $G$
2) $HHa = Ha$ per ogni $a$ e quindi $H$ è l'elemento neutro sinistro cercato
3) Supponiamo per assurdo che esista un $b$ tale che non esista $x in G$ tale che $HxHb = H$. Allora $Hb \ne (Hx)^(-1)H quad \Rightarrow Hb \ne x^(-1)H$ ma questo significa che $Hb \notin uuu x^(-1)H$ ma l'unione dei laterali sinistri è tutto $G$ e quindi $Hb \notin G$ ma questo è assurdo e quindi per ogni $b$ deve esistere un $x$ tale che $HxHb = H$.
N.B. si può dimostrare facilmente che se esiste un laterale $Ha$ tale che $HaHb = Hc$ allora non può esistere un altro laterale $Hd$ tale che $HdHb = Hc$ infatti con qualche passaggio si arriva alle forme $Hbc^(-1) = a^(-1)H$ e $Hbc^(-1) = d^(-1)H$ e da qui usando il seguente fatto: $Ha = Hd$ se e solo se $a^(-1)H = d^(-1)H$ si giunge alla conclusione che $Ha=Hd$
Quindi l'insieme dei laterali forma un gruppo ed in particolare $H$ è anche elemento neutro destro, quindi per ogni $a in G, quad HaH = Ha$ e quindi $aH = Ha$ e dato che vale per ogni $a$, $H$ deve essere normale.
Per prima cosa utilizzerò una definizione un po' diversa di gruppo che però è equivalente a quella usata di solito:
DEFINIZIONE
Un insieme G a cui è associata una legge di composizione (operazione) binaria è un gruppo se:
1) l'operazione è associativa cioé se $(ab)c = a(bc)$
2) esiste l'elemento neutro sinistro cioé se $EE e$ tale che $AA a in G$, $ea = a$
3) ogni elemento possiede inverso sinistro cioé se $AA a in G, quad EE a' in G$ tale che $a'a = e$
Dimostriamo che sono equivalenti o meglio che l'esistenza dell'elemento neutro e dell'inverso sinistri implicano quelli destri.
Prendiamo un $a in G$ allora esisteranno due elementi $a', a° in G$ tali che $a'a = e$ e $a°a' = e$
Quindi $aa' = e(aa') = (a°a')(aa') = a°(a'a)a' = a°a' = e$, cioé $a'$ è anche inverso destro di $a$
Inoltre $a = ea = (aa')a = a(a'a) = ae$ quindi $e$ è anche elemento neutro destro.
Ora comincio con la dimostrazione del problema (1)
Dimostriamo che l'insieme dei laterali forma un gruppo.
1) è associativo perché lo è $G$
2) $HHa = Ha$ per ogni $a$ e quindi $H$ è l'elemento neutro sinistro cercato
3) Supponiamo per assurdo che esista un $b$ tale che non esista $x in G$ tale che $HxHb = H$. Allora $Hb \ne (Hx)^(-1)H quad \Rightarrow Hb \ne x^(-1)H$ ma questo significa che $Hb \notin uuu x^(-1)H$ ma l'unione dei laterali sinistri è tutto $G$ e quindi $Hb \notin G$ ma questo è assurdo e quindi per ogni $b$ deve esistere un $x$ tale che $HxHb = H$.
N.B. si può dimostrare facilmente che se esiste un laterale $Ha$ tale che $HaHb = Hc$ allora non può esistere un altro laterale $Hd$ tale che $HdHb = Hc$ infatti con qualche passaggio si arriva alle forme $Hbc^(-1) = a^(-1)H$ e $Hbc^(-1) = d^(-1)H$ e da qui usando il seguente fatto: $Ha = Hd$ se e solo se $a^(-1)H = d^(-1)H$ si giunge alla conclusione che $Ha=Hd$
Quindi l'insieme dei laterali forma un gruppo ed in particolare $H$ è anche elemento neutro destro, quindi per ogni $a in G, quad HaH = Ha$ e quindi $aH = Ha$ e dato che vale per ogni $a$, $H$ deve essere normale.
Ho provato a risolvere il primo problema proposto da deserto e vorrei sapere se nella mia soluzione ci sono errori..mi scuso in anticipo per eventuali sciocchezze! Io non ho usato il fatto che nelle ipotesi del problema l'insieme dei laterali forma un gruppo, a differenza di quanto fatto da vict85.
Dimostro per prima cosa che se il prodotto di due laterali destri di H in G è ancora un laterale destro di H in G allora \( \forall x,y \in G \ \ HxHy = Hxy \).
Per ipotesi, \( \forall x,y \in G \ \ \exists \ \ z \in G \) tale che \(HxHy=Hz \).
Dunque, \( \forall h \in H, \forall x,y \in G \ \ hxy=hxey=(hx)(ey) \in HxHy \Rightarrow Hxy \subseteq HxHy=Hz \), dove con \(e\) indico l'elemento neutro di G.
D'altra parte, \(HxHy\) contiene tutti gli elementi del tipo \( h_1 x h_2 y \) al variare di \(h_1, h_2 \) in H; in particolare, per \(h_1=h_2=e \), dal momento che \(HxHy=Hz\), ottengo che \( \exists \ \ h \in H\) tale che \(xy=hz \Rightarrow\) $z=h^-1 xy$. Quindi, \( \forall \ \ h' \in H,\) $ h' z = h' h^-1 xy $ \(\in Hxy \ \ \Rightarrow Hz \subseteq Hxy.\)
Ho quindi provato con la doppia inclusione che \(\forall x,y \in G \ \ HxHy=Hxy\).
Di conseguenza, \( \forall h_1, h_2 \in H \ \ \exists h \in H\) tale che \( h_1 x h_2 y=hxy \Longleftrightarrow \) $xh_2=h_1^-1hx$ \(\in Hx \Rightarrow xH \subseteq Hx.\) Analogamente, \( Hx \subseteq xH\) da cui si ottiene che \(Hx=xH \ \ \forall x \in G\), cioè H è normale in G.
Dimostro per prima cosa che se il prodotto di due laterali destri di H in G è ancora un laterale destro di H in G allora \( \forall x,y \in G \ \ HxHy = Hxy \).
Per ipotesi, \( \forall x,y \in G \ \ \exists \ \ z \in G \) tale che \(HxHy=Hz \).
Dunque, \( \forall h \in H, \forall x,y \in G \ \ hxy=hxey=(hx)(ey) \in HxHy \Rightarrow Hxy \subseteq HxHy=Hz \), dove con \(e\) indico l'elemento neutro di G.
D'altra parte, \(HxHy\) contiene tutti gli elementi del tipo \( h_1 x h_2 y \) al variare di \(h_1, h_2 \) in H; in particolare, per \(h_1=h_2=e \), dal momento che \(HxHy=Hz\), ottengo che \( \exists \ \ h \in H\) tale che \(xy=hz \Rightarrow\) $z=h^-1 xy$. Quindi, \( \forall \ \ h' \in H,\) $ h' z = h' h^-1 xy $ \(\in Hxy \ \ \Rightarrow Hz \subseteq Hxy.\)
Ho quindi provato con la doppia inclusione che \(\forall x,y \in G \ \ HxHy=Hxy\).
Di conseguenza, \( \forall h_1, h_2 \in H \ \ \exists h \in H\) tale che \( h_1 x h_2 y=hxy \Longleftrightarrow \) $xh_2=h_1^-1hx$ \(\in Hx \Rightarrow xH \subseteq Hx.\) Analogamente, \( Hx \subseteq xH\) da cui si ottiene che \(Hx=xH \ \ \forall x \in G\), cioè H è normale in G.
Ancora per l'esercizio 1) una soluzione simile alla precedente ma un po' più rapida forse potrebbe essere questa:
sappiamo che \(\forall x,y \in G \ \ \exists \ \ z \in G \ \ \) tale che $HxHy= Hz$. Chiaramente $(ex)(ey)=xy$ \(\in HxHy \ \ = Hz\) e, d'altra parte, \(exy=xy \in Hxy\). Dal momento che le classi laterali destre di un sottogruppo di G formano una partizione di G, $xy$ appartiene ad un unico laterale destro di G, da cui segue che necessariamente $HxHy=Hz=Hxy$.
Dall'ultima uguaglianza si ricava che $HxH=Hx$ da cui \(\forall h_1, h_2 \in H \ \ \exists h \in H\) tale che $h_1xh_2=hx$ \(\Longleftrightarrow\) $xh_2=h_1^-1hx$ \(\in Hx \Rightarrow xH \subseteq Hx \ \ \forall x \in G \) che è (una possibile) definizione di sottogruppo normale.
sappiamo che \(\forall x,y \in G \ \ \exists \ \ z \in G \ \ \) tale che $HxHy= Hz$. Chiaramente $(ex)(ey)=xy$ \(\in HxHy \ \ = Hz\) e, d'altra parte, \(exy=xy \in Hxy\). Dal momento che le classi laterali destre di un sottogruppo di G formano una partizione di G, $xy$ appartiene ad un unico laterale destro di G, da cui segue che necessariamente $HxHy=Hz=Hxy$.
Dall'ultima uguaglianza si ricava che $HxH=Hx$ da cui \(\forall h_1, h_2 \in H \ \ \exists h \in H\) tale che $h_1xh_2=hx$ \(\Longleftrightarrow\) $xh_2=h_1^-1hx$ \(\in Hx \Rightarrow xH \subseteq Hx \ \ \forall x \in G \) che è (una possibile) definizione di sottogruppo normale.
Volevo fare una semplice osservazione sul punto 1) del problema che asserisce : se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$, dimostrare che $H$ è normale in $G$.
Non so se mi sbaglio ma a mio parere si potrebbe semplicemente dire:
comunque preso un elemento $ainG$ consideriamo i laterali $Ha$ ed $Ha^(-1)$ , essendo che $ainHa$ ed $a^(-1)inHa^(-1)$, abbiamo che $aa^(-1)=einH$,$H$ è l'unico laterale che contiene $e$, dovendo $HaHa^(-1)$ per ipotesi essere ancora un laterale destro , sarà necessariamente $(Ha)(Ha^(-1))=He=H$ ed avendosi $H(aHa^(-1))=H$, ciò implica che $aHa^(-1)$ deve essere contenuto in $H$, cioè $H$ normale,ma allora abbiamo compatibilità ed $G/H$ ha struttura di gruppo.
Spero nella fretta di non aver scritto eresie, resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Non so se mi sbaglio ma a mio parere si potrebbe semplicemente dire:
comunque preso un elemento $ainG$ consideriamo i laterali $Ha$ ed $Ha^(-1)$ , essendo che $ainHa$ ed $a^(-1)inHa^(-1)$, abbiamo che $aa^(-1)=einH$,$H$ è l'unico laterale che contiene $e$, dovendo $HaHa^(-1)$ per ipotesi essere ancora un laterale destro , sarà necessariamente $(Ha)(Ha^(-1))=He=H$ ed avendosi $H(aHa^(-1))=H$, ciò implica che $aHa^(-1)$ deve essere contenuto in $H$, cioè $H$ normale,ma allora abbiamo compatibilità ed $G/H$ ha struttura di gruppo.
Spero nella fretta di non aver scritto eresie, resto in attesa di una risposta.
Saluti!
"francicko":
Volevo fare una semplice osservazione sul punto 1) del problema che asserisce : se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$, dimostrare che $H$ è normale in $G$.
Non so se mi sbaglio ma a mio parere si potrebbe semplicemente dire:
comunque preso un elemento $ainG$ consideriamo i laterali $Ha$ ed $Ha^(-1)$ , essendo che $ainHa$ ed $a^(-1)inHa^(-1)$, abbiamo che $aa^(-1)=einH$,$H$ è l'unico laterale che contiene $e$, dovendo $HaHa^(-1)$ per ipotesi essere ancora un laterale destro , sarà necessariamente $(Ha)(Ha^(-1))=He=H$ ed avendosi $H(aHa^(-1))=H$, ciò implica che $aHa^(-1)$ deve essere contenuto in $H$, cioè $H$ normale,ma allora abbiamo compatibilità ed $G/H$ ha struttura di gruppo.
Spero nella fretta di non aver scritto eresie, resto in attesa di una risposta.
Saluti!
Perché dovrebbe essere necessariamente \(\displaystyle HaHb = Hab \)? Dalle ipotesi sai solo che l'azione di moltiplicazione a destra per un laterale è una permutazione dei laterali.
Una volta dimostrato che $H$ é un sottogruppo normale,conseguentemente l'operazione $(Ha)(Hb)=Hab$ con $Ha$ ed $Hb$ laterali destri di $G$ risulterebbe ben posta, infatti la normalità di $H$ implica che $aH=Ha$,cioè il laterale sinistro $aH$ coincide come insieme con il laterale destro $Ha$, quindi si ha $(Ha)(Hb)=H(aH)b=H(Ha)b=(HH)(ab)=Hab$, pertanto l'operazione con i laterali destri come sopra definita è ben posta, in modo equivalente si può dire compatibile, quindi $G/H$ ha struttura di gruppo.
Riassumendo se il prodotto di due laterali destri di $H$ è ancora un laterale destro di $H$, $H$ risulta normale in $G$,
viceversa se $H$ è normale in $G$ allora il prodotto di due laterali destri di $H$ è ancora un laterale destro di $H$.
Non riesco a vedere l'errore nel ragionamento che ho postato.
Saluti!
Riassumendo se il prodotto di due laterali destri di $H$ è ancora un laterale destro di $H$, $H$ risulta normale in $G$,
viceversa se $H$ è normale in $G$ allora il prodotto di due laterali destri di $H$ è ancora un laterale destro di $H$.
Non riesco a vedere l'errore nel ragionamento che ho postato.
Saluti!
Ok, ripensandoci penso funzioni (l'avevo letto velocemente) ma lo riscriverei così...
1. \(\displaystyle \{e \}\subset Hb \) se e solo se \(\displaystyle b\in H \),
2. Per ipotesi \(\displaystyle HaHa^{-1} = Hb \) per qualche \(\displaystyle b \),
3. \(\displaystyle \{e\}\subset HaHa^{-1} \) pertanto \(\displaystyle b\in H \) e \(\displaystyle H \) è normale.
Fondamentalmente è uguale.
1. \(\displaystyle \{e \}\subset Hb \) se e solo se \(\displaystyle b\in H \),
2. Per ipotesi \(\displaystyle HaHa^{-1} = Hb \) per qualche \(\displaystyle b \),
3. \(\displaystyle \{e\}\subset HaHa^{-1} \) pertanto \(\displaystyle b\in H \) e \(\displaystyle H \) è normale.
Fondamentalmente è uguale.
"deserto":
Sempre dal solito Hernstein riporto alcuni esercizi (a proposito se conoscete qualche libro con esercizi sui gruppi mettetemene al corrente)
Oltre al Dixon segnalato da vict85, potresti cercare in biblioteca Baumslag/Chandler - Teoria dei Gruppi - Collana Schaum. Ci sono 600 esercizi risolti. L'edizione italiana è piuttosto vecchia, forse trovi più facilmente quella inglese.
xVict85.
Ho appena visto nell'Herstein che a pagina 54 riporta la dimostrazione anche se parziale(solo in una direzione) del seguente lemma :
Un sottogruppo $N$ di un gruppo $G$ é normale in $G$ se e soltanto se il prodotto di due laterali destri di $N$ è ancora un laterale destro di $N$,
che in sostanza é equivalente alll'argomentazione che ho postato. Aggiungerei che se al posto di "laterali destri " sostituiamo "laterali sinistri" l'rgomentazione resta ovviamente valida.
Ho appena visto nell'Herstein che a pagina 54 riporta la dimostrazione anche se parziale(solo in una direzione) del seguente lemma :
Un sottogruppo $N$ di un gruppo $G$ é normale in $G$ se e soltanto se il prodotto di due laterali destri di $N$ è ancora un laterale destro di $N$,
che in sostanza é equivalente alll'argomentazione che ho postato. Aggiungerei che se al posto di "laterali destri " sostituiamo "laterali sinistri" l'rgomentazione resta ovviamente valida.
Come libri di esercizi di algebra segnalo il seguente testo:
"ESERCIZI DI ALGEBRA" di Marchionna e Tibiletti, edizioni "MASSON" Milano, 1993.
Sono riportati molti esercizi sui gruppi ed altre strutture algebriche, quasi tutti con le soluzioni.
"ESERCIZI DI ALGEBRA" di Marchionna e Tibiletti, edizioni "MASSON" Milano, 1993.
Sono riportati molti esercizi sui gruppi ed altre strutture algebriche, quasi tutti con le soluzioni.
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