Sottogruppi normali

[rubik2]

Qualcuno sa aiutarmi con questo esercizio?

Sia G un gruppo privo di sottogruppi di indice 2. Mostrare che ogni sottogruppo di G di indice 3 è normale.

[miuemia]

scusa tipper ma $A_5$ possiede sottogruppi di indice 2 oppiure 3 oppure 5??????

[_Tipper]

Ehm... mi sa che hai rivolto la domanda alla persona sbagliata...

[Martino]

"miuemia":vedi qui
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9825

miuemia, non capisco cosa questo link c'entri con quello che stavo contestando. Quello che dico io è che $A_5$ è un gruppo di ordine pari senza sottogruppi di indice due. Quindi esistono gruppi di indice pari senza sottogruppi di indice due. Quindi dal fatto che 2 divide |G| non puoi dedurre un assurdo. Non saprei in che altro modo dirlo...

[miuemia]

si scusate era riferito a fields.

[fields1]

"miuemia":scusa tipper ma $A_5$ possiede sottogruppi di indice 2 oppiure 3 oppure 5??????

Di indice 2 no. Di indice 3, nemmeno, se è vera la proposizione di rubik. Di indice 5 non so.

Ad ogni modo, la cosa chiara è che la tua dimostrazione ha una falla. Addirittura esistono gruppi di ordine divisibile per 6, senza sottogruppi di indice 2, e per giunta con sottogruppi di indice 3.

[miuemia]

mia no semmai planetmath...
cmq si nn funziona.
ci penserò su.

[Martino]

"miuemia":mia no semmai planetmath...

Veramente la dimostrazione sul link che hai postato è giusta, è solo che dimostra un'altra cosa: nel link si suppone che $p$ sia il piu' piccolo primo che divide l'ordine di G, ma in questo nostro caso non necessariamente p=3, dato che abbiamo visto esistere gruppi di ordine pari che verificano l'ipotesi.

Credo di aver trovato la soluzione: se $ker(f)$ ha indice 6 allora $G//ker(f)$ è isomorfo a $S_3$, che ha sottogruppi di indice 2. Sia $T//ker(f)$ un sottogruppo di indice 2 di $G//ker(f)$. Allora $(G//ker(f))/(T//ker(f)) cong G//T$ ha ordine 2 e quindi T ha indice 2 in G, assurdo per ipotesi.

[miuemia]

pefetto.., funziona allora