Sottogruppi normali
Rega forse è una banalità ma voglio la conferma.
Sia $(G, +)$ un gruppo rispetto all'ordinaria operazione di somma.
I sottogruppi di $G$ sono tutti normali?
Io credo di si, corregetemi se sbaglio perchè se si definisce normale il sottogruppo $N$ t.c.
${xNx^-1in N}$ rispetto alla somma la relazione diviene ${x+N+(-x)in N}={N}$ l'operazione di somma commuta sempre giusto?
Sia $(G, +)$ un gruppo rispetto all'ordinaria operazione di somma.
I sottogruppi di $G$ sono tutti normali?
Io credo di si, corregetemi se sbaglio perchè se si definisce normale il sottogruppo $N$ t.c.
${xNx^-1in N}$ rispetto alla somma la relazione diviene ${x+N+(-x)in N}={N}$ l'operazione di somma commuta sempre giusto?
Risposte
"squalllionheart":
Rega forse è una banalità ma voglio la conferma.
Sia $(G, +)$ un gruppo rispetto all'ordinaria operazione di somma.
I sottogruppi di $G$ sono tutti normali?
Io credo di si, corregetemi se sbaglio perchè se si definisce normale il sottogruppo $N$ t.c.
${xNx^-1in N}$ rispetto alla somma la relazione diviene ${x+N+(-x)in N}={N}$ l'operazione di somma commuta sempre giusto?
Sì.
In qualsiasi gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale, infatti gli unici gruppi semplici abeliani solo i gruppi ciclici che hanno per ordine un numero primo.
Del resto se an = na anche aN = Na per ogni sottogruppo che contiene l'elemento n.
${xNx^-1 = N}$ non deve solo appartenere... devono essere uguali.
Non è che "l'operazione di somma commuta sempre", è che i gruppi commutativi di solito si denotano additivamente 
Ciao.
Ciao.
Martino fammi degli esempi in cui l'operatore somma nn funge.
Levati dalla mente che un buon professore di Algebra ti faccia passare come corretta la frase "Sia $(G,+)$ un gruppo rispetto all'ordinaria operazione di somma": su un sostegno qualsiasi $G$ non ha alcun senso parlare di "ordinaria operazione di somma" perchè, data la generalità dell'assunzione, non è lecito supporre che su $G$ sia già definita a priori una somma (questa frase è un po' oscura, perciò consideriamo un esempio: se $G={"squalllionheart", "gugo82", "Martino", "Fioravante Patrone"}$ qual è l'"ordinaria operazione di somma" su $G$? Risposta: -Boh!-).
Il punto è che, quando l'operazione di un gruppo è commutativa, si suole denotare tale operazione col $+$.
Il $+$ è solo un simbolo: potrei denotare con $+$ anche il prodotto vettoriale di $RR^3$, che non è commutativo.
Il punto è che, quando l'operazione di un gruppo è commutativa, si suole denotare tale operazione col $+$.
Il $+$ è solo un simbolo: potrei denotare con $+$ anche il prodotto vettoriale di $RR^3$, che non è commutativo.
Quoto in pieno ciò che ha detto gugo82 
"gugo82":
Levati dalla mente che un buon professore di Algebra ti faccia passare come corretta la frase "Sia $(G,+)$ un gruppo rispetto all'ordinaria operazione di somma": su un sostegno qualsiasi $G$ non ha alcun senso parlare di "ordinaria operazione di somma" perchè, data la generalità dell'assunzione, non è lecito supporre che su $G$ sia già definita a priori una somma (questa frase è un po' oscura, perciò consideriamo un esempio: se $G={"squalllionheart", "gugo82", "Martino", "Fioravante Patrone"}$ qual è l'"ordinaria operazione di somma" su $G$? Risposta: -Boh!-).
Il punto è che, quando l'operazione di un gruppo è commutativa, si suole denotare tale operazione col $+$.
Il $+$ è solo un simbolo: potrei denotare con $+$ anche il prodotto vettoriale di $RR^3$, che non è commutativo.
QUOTO anch'io.
Comunque se il gruppo è abeliano tutti i suoi sottogruppi sono normali.
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