Sottogruppi normali

[ficus2002]

Se un gruppo è abeliano allora ogni suo sottogruppo è normale.

Vale il viceversa? Cioè, se ogni sottogruppo di un gruppo G è normale in G, allora G è abeliano?

[fields1]

Interessante domanda, me la stavo ponendo pure io un paio di giorni fa. Ho trovato che per un gruppo G il fatto che ogni sottogruppo di G sia normale non è condizione sufficiente affinché G sia abeliano: per dimostrarlo si possono utilizzare opportuni gruppi di quaternioni.

Ho però notato che ad esempio, se G è un gruppo finito e l'ordine di G è prodotto di primi distinti, allora se tutti i sottogruppi di G sono normali, G è abeliano.

[Principe2]

fra l'altro i gruppi in cui tutti i sottogruppi sono normali sono detti hamiltoniani,
ed il più semplice è proprio il gruppo delle unità dei quaternioni.
Per quanto riguarda l'osservazione di fields, basti pensare che nelle sue ipotesi
il gruppo è prodotto semidiretto dei suoi sottogruppi di ordine p, al variare dei
primi divisori dell'ordine. Per cui il gruppo, non solo è abeliano, ma è addirittura
ciclico.