Sottogruppi normali

[RattoPazzo]

Volevo chiedere un aiuto su un altro problema, il testo è il seguente: sia $G$ un gruppo tale che per un certo $n>1$, $(ab)^n = a^nb^n$. Dimostrare che $G^((n)) = {x^n | x in G}$ e $G^((n-1))= {x^(n-1) | x in G}$ sono sottogruppi normali di $G$. Dimostrare che siano sottogruppi è stato piuttosto semplice, ma in entrambi i casi non riesco a capire come dimostrare che i due sottogruppi sono normali. Per quanto riguarda il primo, avevo pensato che affinché $G^((n))$ sia normale in $G$ il prodotto di due suoi laterali destri deve essere ancora un laterale destro, quindi $G^((n))aG^((n))b = G^((n))ab$. Forse con la doppia inclusione? Non riesco però a dimostrare che il primo membro sia contenuto nel secondo, any help?

[hydro1]

Un sottogruppo $H\leq G$ è normale se e solo se per ogni $g\in G$ si ha $gHg^{-1}=H$.

[6.62607004]

Suggerimento

Ad esempio per $n=2$ si ha $ \forall g,x \in G$

$(gxg^-1)^2=(gxg^-1)(gxg^-1)=gx(g^-1g)xg^-1= gx^2g^-1$

Ho utilizzato questa uguaglianza anche per dimostrare che $G^{(n-1)}$ è chiuso.