Sottogruppi (non troppo) grandi del gruppo simmetrico
Domanda molto vaga e forse non troppo ben posta.
Sia $d$ un numero naturale fissato e sia $\mathfrak{S}_n$ il gruppo simmetrico su $n$ lettere.
E' vero che esistono infiniti $n$ per cui $\mathfrak{S}_n$ ha un sottogruppo transitivo sulle $n$ lettere di ordine "circa" $n^d$? Piu' precisamente, esistono infiniti $n$ per cui $\mathfrak{S}_n$ ha un sottogruppo di ordine $g_n$ e $\frac{g_n}{n^d} \to c$ costante non nulla per $n \to \infty$?
E se ne volessi uno per tutti gli $n$ abbastanza grandi?
Forse in generale e' un problema difficilissimo; non ho fatto molte ricerche.
Chiaramente il ciclico generato da un $n$-ciclo da' una risposta per $d=1$ (e ce ne sono parecchi altri per $d=1$, ad esempio il diedrale).
Se rimuoviamo la transitivita', un $\mathfrak{S}_{n-d} \subseteq \mathfrak{S}_{n}$ e' un esempio per ogni $d$. Basta forse prendere il gruppo generato da quello e un $n$-ciclo? Mi piacerebbe vedere un esempio un po' piu' "naturale" (o magari anche poco naturale ma per il quale si vede bene come e' fatto) almeno per $d$ piccolo.
Ad esempio per $d = 2$ e $n$ e' una potenza di un primo, $\mathfrak{S_n}$ contiene un sottogruppo di ordine $n(n-1)$, che e' il gruppo delle trasformazioni affini di $\mathbb{F}_n$, il campo con $n$ elementi. Per $n$ primo, questo dovrebbe essere un semidiretto $\mathbb{Z_n} \ltimes \mathbb{Z_{n-1}}$. Questo pero' non si generalizza a $n$ che non e' potenza di un primo. Ad esempio $\mathfrak{S_6}$ non ha sottogruppi di ordine $6\cdot 5 = 30$ (vero?).
Sia $d$ un numero naturale fissato e sia $\mathfrak{S}_n$ il gruppo simmetrico su $n$ lettere.
E' vero che esistono infiniti $n$ per cui $\mathfrak{S}_n$ ha un sottogruppo transitivo sulle $n$ lettere di ordine "circa" $n^d$? Piu' precisamente, esistono infiniti $n$ per cui $\mathfrak{S}_n$ ha un sottogruppo di ordine $g_n$ e $\frac{g_n}{n^d} \to c$ costante non nulla per $n \to \infty$?
E se ne volessi uno per tutti gli $n$ abbastanza grandi?
Forse in generale e' un problema difficilissimo; non ho fatto molte ricerche.
Chiaramente il ciclico generato da un $n$-ciclo da' una risposta per $d=1$ (e ce ne sono parecchi altri per $d=1$, ad esempio il diedrale).
Se rimuoviamo la transitivita', un $\mathfrak{S}_{n-d} \subseteq \mathfrak{S}_{n}$ e' un esempio per ogni $d$. Basta forse prendere il gruppo generato da quello e un $n$-ciclo? Mi piacerebbe vedere un esempio un po' piu' "naturale" (o magari anche poco naturale ma per il quale si vede bene come e' fatto) almeno per $d$ piccolo.
Ad esempio per $d = 2$ e $n$ e' una potenza di un primo, $\mathfrak{S_n}$ contiene un sottogruppo di ordine $n(n-1)$, che e' il gruppo delle trasformazioni affini di $\mathbb{F}_n$, il campo con $n$ elementi. Per $n$ primo, questo dovrebbe essere un semidiretto $\mathbb{Z_n} \ltimes \mathbb{Z_{n-1}}$. Questo pero' non si generalizza a $n$ che non e' potenza di un primo. Ad esempio $\mathfrak{S_6}$ non ha sottogruppi di ordine $6\cdot 5 = 30$ (vero?).
Risposte
Ciao!
Beh, se ti basta un esempio, se $d$ divide $n$ puoi prendere un prodotto intrecciato [tex]G = C_{n/d} \wr C_d \leq S_n[/tex], che è transitivo e ha ordine $(n/d)^d d = n^d/d^{d-1}$. Qui ovviamente la "costante" di cui parli dipende da $d$, non so se era questo che intendevi.
Inoltre non capisco il tuo esempio non transitivo, $S_{n-d}$ ha ordine $(n-d)!$ che è molto più grande (nel senso come ordine di grandezza) di $n^d$.
A me sembra che la condizione che $g_n/n^d$ tenda a una costante sia una condizione molto restrittiva e forse non esistono esempi in troppa generalità. In realtà quello che mi interessa di più di tutto questo è: perché hai formulato la domanda proprio in questi termini?
$S_6$ non ha sottogruppi di ordine $30$ vero, ma è rilevante? Tu sei alla ricerca di risultati asintotici e "a meno di una costante". Ti faccio osservare che per esempio $S_p$ non ha sottogruppi transitivi di ordine $p^d$ a meno che $d=1$, infatti in un gruppo transitivo $H$ di ordine $p^d$ gli stabilizzatori dei punti hanno indice $p$, d'altra parte in un $p$-gruppo i sottogruppi di indice $p$ sono normali, quindi gli stabilizzatori sono normali, cioè sono banali, ovvero $d=1$.
Beh, se ti basta un esempio, se $d$ divide $n$ puoi prendere un prodotto intrecciato [tex]G = C_{n/d} \wr C_d \leq S_n[/tex], che è transitivo e ha ordine $(n/d)^d d = n^d/d^{d-1}$. Qui ovviamente la "costante" di cui parli dipende da $d$, non so se era questo che intendevi.
Inoltre non capisco il tuo esempio non transitivo, $S_{n-d}$ ha ordine $(n-d)!$ che è molto più grande (nel senso come ordine di grandezza) di $n^d$.
A me sembra che la condizione che $g_n/n^d$ tenda a una costante sia una condizione molto restrittiva e forse non esistono esempi in troppa generalità. In realtà quello che mi interessa di più di tutto questo è: perché hai formulato la domanda proprio in questi termini?
$S_6$ non ha sottogruppi di ordine $30$ vero, ma è rilevante? Tu sei alla ricerca di risultati asintotici e "a meno di una costante". Ti faccio osservare che per esempio $S_p$ non ha sottogruppi transitivi di ordine $p^d$ a meno che $d=1$, infatti in un gruppo transitivo $H$ di ordine $p^d$ gli stabilizzatori dei punti hanno indice $p$, d'altra parte in un $p$-gruppo i sottogruppi di indice $p$ sono normali, quindi gli stabilizzatori sono normali, cioè sono banali, ovvero $d=1$.
Ti ringrazio per la risposta. Cerco di fare un po' di chiarezza e correggere qualcosa di inesatto che ho scritto sopra.
L'esempio $S_{n-d}$ non funziona. Avevo in mente un'altra cosa ma non funziona neanche quella.
Comunque, il punto di partenza sarebbe stato provare a fare una riduzione a sottogruppi di $S_n$ del risultato di cui si parla qui.
Stavo cercando esempi di sottogruppi $G_n$ in $S_n$ con (almeno alcune) delle seguenti proprieta':
- $G_n$ transitivo per ogni $n$;
- $G_n$ ha cardinalita' polinomiale in $n$;
- la rappresentazione standard $[n-1,1]$ di $S_n$ e' irriducibile per $G_n$ (questo elimina tutti i gruppi abeliani, ma, ad esempio, tiene il diedrale)
- quante piu' possibile delle rappresentazioni della forma $[n-k,1^k]$ di $S_n$ (gli hook con gamba lunga $k$) sono irriducibili per $G_n$: questo non mi interessa davvero...quello che mi piacerebbe e' che almeno un $G_n$-modulo irriducibile che compare in $[n-k,1^k]$ abbia dimensione dell'ordine $n^k$ (o anche un po' meno); una condizione necessaria e' che $G_n$ abbia almeno $Cn^d$ (con $d \geq k$) elementi per una qualche costante $C$ - forse serve molto di piu', ma capire esempi con $C n^d$ elementi mi sembrava un modo per cominciare a capire come funzionano questi sottogruppi.
- in generale mi piacerebbe che la teoria delle rappresentazioni di $G_n$ fosse non troppo strana (e per questo mi piacerebbe che i $G_n$ partissero da $n$ non troppo grande - da cui la domanda su $S_6$ - in modo da avere qualche speranza di fare un po' di conti a mano e capire cosa succede).
In realta', credo che anche avendo tutti questi elementi la riduzione non sia comunque possibile. Ma visto che avevo cominciato a pensare a questi esempi, ho provato a chiedere comunque cosa si sa in generale su sottogruppi del genere, almeno considerando solo le prime due proprieta'. (piu' che altro considerando solo le prime due proprieta' la richiesta diventava un po' piu' chiara)
Nell'ultimo paragrafo (quando parli dei sottogruppi di $S_p$), assumi $p$ primo? In questo caso per dire che non ci sono sottogruppi di ordine $p^2$ basta dire che $p^2$ non divide $p!$, no? Pero' in $S_p$, gli $AGL(\mathbb{F}_p)$ hanno ordine $p(p-1)$ e mi danno una successioni di sottogruppi che crescono come $p^2$.
---- editato il titolo della discussione
L'esempio $S_{n-d}$ non funziona. Avevo in mente un'altra cosa ma non funziona neanche quella.
Comunque, il punto di partenza sarebbe stato provare a fare una riduzione a sottogruppi di $S_n$ del risultato di cui si parla qui.
Stavo cercando esempi di sottogruppi $G_n$ in $S_n$ con (almeno alcune) delle seguenti proprieta':
- $G_n$ transitivo per ogni $n$;
- $G_n$ ha cardinalita' polinomiale in $n$;
- la rappresentazione standard $[n-1,1]$ di $S_n$ e' irriducibile per $G_n$ (questo elimina tutti i gruppi abeliani, ma, ad esempio, tiene il diedrale)
- quante piu' possibile delle rappresentazioni della forma $[n-k,1^k]$ di $S_n$ (gli hook con gamba lunga $k$) sono irriducibili per $G_n$: questo non mi interessa davvero...quello che mi piacerebbe e' che almeno un $G_n$-modulo irriducibile che compare in $[n-k,1^k]$ abbia dimensione dell'ordine $n^k$ (o anche un po' meno); una condizione necessaria e' che $G_n$ abbia almeno $Cn^d$ (con $d \geq k$) elementi per una qualche costante $C$ - forse serve molto di piu', ma capire esempi con $C n^d$ elementi mi sembrava un modo per cominciare a capire come funzionano questi sottogruppi.
- in generale mi piacerebbe che la teoria delle rappresentazioni di $G_n$ fosse non troppo strana (e per questo mi piacerebbe che i $G_n$ partissero da $n$ non troppo grande - da cui la domanda su $S_6$ - in modo da avere qualche speranza di fare un po' di conti a mano e capire cosa succede).
In realta', credo che anche avendo tutti questi elementi la riduzione non sia comunque possibile. Ma visto che avevo cominciato a pensare a questi esempi, ho provato a chiedere comunque cosa si sa in generale su sottogruppi del genere, almeno considerando solo le prime due proprieta'. (piu' che altro considerando solo le prime due proprieta' la richiesta diventava un po' piu' chiara)
Nell'ultimo paragrafo (quando parli dei sottogruppi di $S_p$), assumi $p$ primo? In questo caso per dire che non ci sono sottogruppi di ordine $p^2$ basta dire che $p^2$ non divide $p!$, no? Pero' in $S_p$, gli $AGL(\mathbb{F}_p)$ hanno ordine $p(p-1)$ e mi danno una successioni di sottogruppi che crescono come $p^2$.
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